无心人 发表于 2010-6-23 15:13:55

上次整点三角形不过瘾,这次来个稍微简单的

对每个n,是否存在三角形
1、顶点坐标为整数
2、面积是n

现在对n <= 100求出所有的本质解
即在旋转平移下不全等的解

mathe 发表于 2010-6-23 15:17:41

存在性是显然的。

mathe 发表于 2010-6-23 15:19:35

解的数目有点多,改计数吧。

mathe 发表于 2010-6-23 15:20:18

晕,计数也不用了,应该有无穷个解。

mathe 发表于 2010-6-23 15:23:56

修改一下题目,有多少个不全等的面积为n的整点锐角三角形

gxqcn 发表于 2010-6-23 15:35:34

已知三角形三顶点坐标分别为:(x_1,y_1), (x_2,y_2), (x_3,y_3),其面积为:

S_Delta = 1/2 * |(x_1,y_1,1),(x_2,y_2,1),(x_3,y_3,1)|

wayne 发表于 2010-6-23 15:42:17

6# gxqcn
:b:

:lol

mathe 发表于 2010-6-23 15:46:47

由于平移我们认为等价,可以让$x_3=y_3=0$
于是$S_{Delta}=|1/2(x_1y_2-x_2y_1)|$
这也是为什么我说有无穷组解,我们只要找任意两个互素的整数$x_1,x_2$,根据中国剩余定理,存在s,t使得
$1=x_1s+x_2t$,于是取$y_2=n*s,y_1=-n*t$就可以了
比如下图是一个面积为1的三角形

无心人 发表于 2010-6-23 17:55:09

:)

那就要锐角三角形吧

hujunhua 发表于 2010-6-23 19:57:35

等价关系怎样设定为好?

本帖最后由 hujunhua 于 2010-6-24 08:49 编辑

1#
简单地说“即在旋转平移下不全等的解”有点草率。感觉楼主指的是“在刚性运动下不合同的解”,选了两个典型的刚性运动做代言人。

我倾向于把网收缩到对称群:{平移}U{e,x轴反射,y轴反射,转置,负转置,旋转90度,旋转180度,旋转270度},统计在此群作用下不合同的解。
因为刚性运动群太大,并不能成为集{整点三角形}上的变换群。
页: [1] 2
查看完整版本: 上次整点三角形不过瘾,这次来个稍微简单的