上次整点三角形不过瘾，这次来个稍微简单的

无心人 · 发表于 2010-6-23 15:13:55

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对每个n，是否存在三角形
1、顶点坐标为整数
2、面积是n

现在对n <= 100求出所有的本质解
即在旋转平移下不全等的解

mathe · 发表于 2010-6-23 15:17:41

存在性是显然的。

mathe · 发表于 2010-6-23 15:19:35

解的数目有点多，改计数吧。

mathe · 发表于 2010-6-23 15:20:18

晕，计数也不用了，应该有无穷个解。

mathe · 发表于 2010-6-23 15:23:56

修改一下题目，有多少个不全等的面积为n的整点锐角三角形

gxqcn · 发表于 2010-6-23 15:35:34

已知三角形三顶点坐标分别为：$(x_1,y_1), (x_2,y_2), (x_3,y_3)$，其面积为：

$S_Delta = 1/2 * |(x_1,y_1,1),(x_2,y_2,1),(x_3,y_3,1)|$

wayne · 发表于 2010-6-23 15:42:17

6# gxqcn

mathe · 发表于 2010-6-23 15:46:47

由于平移我们认为等价，可以让$x_3=y_3=0$
于是$S_{Delta}=|1/2(x_1y_2-x_2y_1)|$
这也是为什么我说有无穷组解，我们只要找任意两个互素的整数$x_1,x_2$,根据中国剩余定理，存在s,t使得
$1=x_1s+x_2t$,于是取$y_2=n*s,y_1=-n*t$就可以了
比如下图是一个面积为1的三角形

无心人 · 发表于 2010-6-23 17:55:09

那就要锐角三角形吧

hujunhua · 发表于 2010-6-23 19:57:35

本帖最后由 hujunhua 于 2010-6-24 08:49 编辑

1#
简单地说“即在旋转平移下不全等的解”有点草率。感觉楼主指的是“在刚性运动下不合同的解”，选了两个典型的刚性运动做代言人。

我倾向于把网收缩到对称群：{平移}U{e，x轴反射，y轴反射，转置，负转置，旋转90度，旋转180度，旋转270度}，统计在此群作用下不合同的解。
因为刚性运动群太大，并不能成为集{整点三角形}上的变换群。

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