调和级数的缺项和
记所有含数码k的n位数的倒数和为L_n(k)，所有不含数码k的n位数的倒数和为R_n(k)，n\ge 2 时 L_n(k)中以不含数码k的两位数i开头的各有10^(n-2)-9^(n-2)项，每项都在\frac{1}{10^{n-2}i}和\frac{1}{10^{n-2}(i+1)}之间，而以含数码k的两位数i开头的各有10^(n-2)项，每项都在\frac{1}{10^{n-2}i}和\frac{1}{10^{n-2}(i+1)}之间，定义t_{\alpha}(k)=\sum_{i=1}^9 \frac{1}{10i+k+\alpha}+\sum_{i=1}^9 \frac{1}{10k+i+\alpha}-\frac{1}{11k+\alpha}，\alpha=0,1，s_{\alpha}(k)=\sum_{i=10}^{99} \frac{1}{i+\alpha}-t_{\alpha}(k)，则有(1-0.9^{n-2})s_0 (k)+t_0 (k)\ge L_n(k)\ge (1-0.9^{n-2})s_1 (k)+t_1 (k) ，类似地，0.9^{n-2}s_0 (k)\ge R_n(k)\ge 0.9^{n-2}s_1 (k)。当n < n_0(k)=2+log_{0.9}\frac{s_0 (k)+t_0 (k)}{s_0 (k)+s_1(k)}时L_n (k)<R_n(k)，而当n > n_1 (k)=2+log_{0.9}\frac{s_1 (k)+t_1 (k)}{s_0 (k)+s_1(k)}时L_n (k)>R_n(k)。
计算结果：
k n_0 (k) n_1 (k)使L_n (k)>R_n(k)的最小n
1 3.90 4.27 4? 5?
2 5.46 5.83 6
3 6.08 6.45 7
4 6.42 6.80 7
5 6.65 7.02 7？8？
6 6.81 7.18 7？8？
7 6.93 7.30 7? 8?
8 7.03 7.40 8
9 7.11 7.48 8
由于估计过于粗放，数码1、5、6、7不能完全确定。
完全类似地考虑前三位得到如下结果
k n_0 (k) n_1 (k)使L_n (k)>R_n(k)的最小n
1 4.05 4.09 5
2 5.62 5.66 6
3 6.24 6.28 7
4 6.59 6.62 7
5 6.82 6.85 7
6 6.98 7.02 7？8？
7 7.11 7.15 8
8 7.21 7.25 8
9 7.30 7.33 8
数码6还需要进一步考虑前四位。 补充：k也可以取零，需要稍微修改一下s，t的定义，考虑前两位就可以得到结果是8。也就是说在这里数码0更像9而不是1。
对于数码6，计算前四位仍不能确定，不过因为有三个计算结果，可以作外推，由此得到n=8。
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