调和级数的缺项和

Buffalo

记所有含数码k的n位数的倒数和为$L_n(k)$，所有不含数码k的n位数的倒数和为$R_n(k)$，$n\ge 2$ 时 $L_n(k)$中以不含数码k的两位数i开头的各有$10^(n-2)-9^(n-2)$项，每项都在$\frac{1}{10^{n-2}i}$和$\frac{1}{10^{n-2}(i+1)}$之间，而以含数码k的两位数i开头的各有$10^(n-2)$项，每项都在$\frac{1}{10^{n-2}i}$和$\frac{1}{10^{n-2}(i+1)}$之间，定义$t_{\alpha}(k)=\sum_{i=1}^9 \frac{1}{10i+k+\alpha}+\sum_{i=1}^9 \frac{1}{10k+i+\alpha}-\frac{1}{11k+\alpha}$，$\alpha=0,1$，$s_{\alpha}(k)=\sum_{i=10}^{99} \frac{1}{i+\alpha}-t_{\alpha}(k)$，则有$(1-0.9^{n-2})s_0 (k)+t_0 (k)\ge L_n(k)\ge (1-0.9^{n-2})s_1 (k)+t_1 (k) $，类似地，$0.9^{n-2}s_0 (k)\ge R_n(k)\ge 0.9^{n-2}s_1 (k)$。
当$n < n_0(k)=2+log_{0.9}\frac{s_0 (k)+t_0 (k)}{s_0 (k)+s_1(k)}$时$L_n (k)<R_n(k)$，而当$n > n_1 (k)=2+log_{0.9}\frac{s_1 (k)+t_1 (k)}{s_0 (k)+s_1(k)}$时$L_n (k)>R_n(k)$。
计算结果：
k   $n_0 (k)$   $n_1 (k)$  使$L_n (k)>R_n(k)$的最小n
1   3.90   4.27      4? 5?
2   5.46   5.83      6
3   6.08   6.45      7
4   6.42   6.80      7
5   6.65   7.02      7？8？
6   6.81   7.18      7？8？
7   6.93   7.30      7? 8?
8   7.03   7.40      8
9   7.11   7.48      8

由于估计过于粗放，数码1、5、6、7不能完全确定。
完全类似地考虑前三位得到如下结果

k   $n_0 (k)$   $n_1 (k)$  使$L_n (k)>R_n(k)$的最小n
1   4.05   4.09      5
2   5.62   5.66      6
3   6.24   6.28      7
4   6.59   6.62      7
5   6.82   6.85      7
6   6.98   7.02      7？8？
7   7.11   7.15      8
8   7.21   7.25      8
9   7.30   7.33      8

数码6还需要进一步考虑前四位。

Buffalo

补充：k也可以取零，需要稍微修改一下s，t的定义，考虑前两位就可以得到结果是8。也就是说在这里数码0更像9而不是1。
对于数码6，计算前四位仍不能确定，不过因为有三个计算结果，可以作外推，由此得到n=8。