由“陈计的一道代数不等式”所发出的疑问
本帖最后由 mathematica 于 2010-7-3 19:25 编辑先看《陈计的一道代数不等式》
http://bbs.emath.ac.cn/thread-164-1-1.html
提问开始
假设a.b为正数,a+b=n(n也是正数),求y=(a+1/a)(b+1/b)的最小值
当n=4,y取到最小值时,a=b
当n=5,y取到最小值时,a不等于b
从直觉上来说当n取4到5之间的某一个值时，假设这个值是m
当n<m时，y取到最小值时,a=b，
当n>m时，y取到最小值时,a不等于b，
问题来了，这个m是多少？
如果是a,b,c三个数呢？这个m又是多少？
如果是a,b,c,d四个数时，这个m又是多少？
这样就会形成一个数列，请求出这个数列的各个值
“从直觉上来说当n取4到5之间的某一个值时，假设这个值是m
当n<m时，y取到最小值时,a=b，
当n>m时，y取到最小值时,a不等于b，
问题来了，这个m是多少？”
我只是从直觉上来说是存在这个m值，而且是只有一个，但是我并不能证明
我计算了一下，
m约等于4.12
m的准确值似乎应该是6
m约等于7.67024
m约等于9.4这样
m/2,m/3,m/4.................似乎还是单调递减的数列,而m/k又大于0,单调减又有下界的数列肯定是有极限的,那么这个极限值又是多少呢?
看了9楼的回答，我不得不把我的所有提问整理到楼主帖当中。
不过9楼的只是回答了m的值 m的定义是啥? 此问题 在原帖已经解决了，
参考29楼及以后mathe的分析 我还是把29楼的链接弄到这边吧
http://bbs.emath.ac.cn/thread-164-3-1.html 9楼的 wayne ，麻烦你把你的所有的结论整理一下，然后贴在这个帖子后面，好吗？那儿的我看的不怎么明白 不过我觉得m的准确值似乎应该是6，但是 wayne 算出来的是3*(2+5^0.5)^0.5=6.17451,从逻辑上来说,你我似乎至少有一个人是错误的 你可以看61楼所说的
更详细的有下面这个结论
http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?t=64933
如果所有变量相等能落在下凸区间里,那么就ok;
否则,就是一个变量落在外面,其他变量都相等落在下凸区间里. 6# mathematica
看33楼，是 6.0043029605431965656237025541486，:lol 那个链接中16#的内容也挺有用的，就是由于发表比较早，是word文件，如果谁有空，可以将它转出来到这里。
我们现在知道由于不存在边界情况，最小值只能两种情况取到
i)n个$x_i$全部相等
ii)n-1个$x_i$相等，而且小于$sqrt(2+sqrt(5))$,还有一个$x_n$大于$sqrt(2+sqrt(5))$,而且$x_1$和$x_n$处导数相等。
如果和$S>=nsqrt(2+sqrt(5))$,那么情况i)不可以取到（凹函数的性质）
而如果$s<=2n$,那么由于情况1)的平均值小于2,而情况ii)对应的情况n-1个相等的值小于2，对应的函数值在这段区间递减，所以情况ii)必然不可能取到最小值，所以只能取情况i)
只有在$2n<S<nsqrt(2+sqrt(5))$我们还需要进一步分析（同时比较两种情况） 16楼的文章我也看了，mathe发现的分离法很有用。我对该文作了一些简化和图解，如果发出来相信能澄清不少疑问，不过这么做似乎有掠美之嫌。