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[提问] 由“陈计的一道代数不等式”所发出的疑问

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发表于 2010-7-3 17:36:28 | 显示全部楼层 |阅读模式

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本帖最后由 mathematica 于 2010-7-3 19:25 编辑

先看《陈计的一道代数不等式》
/thread-164-1-1.html

提问开始
假设a.b为正数,a+b=n(n也是正数),求y=(a+1/a)(b+1/b)的最小值
当n=4,y取到最小值时,a=b
当n=5,y取到最小值时,a不等于b
从直觉上来说当n取4到5之间的某一个值时,假设这个值是m
当n<m时,y取到最小值时,a=b,
当n>m时,y取到最小值时,a不等于b,
问题来了,这个m是多少?

如果是a,b,c三个数呢?这个m又是多少?
如果是a,b,c,d四个数时,这个m又是多少?
这样就会形成一个数列,请求出这个数列的各个值

“从直觉上来说当n取4到5之间的某一个值时,假设这个值是m
当n<m时,y取到最小值时,a=b,
当n>m时,y取到最小值时,a不等于b,
问题来了,这个m是多少?”
我只是从直觉上来说是存在这个m值,而且是只有一个,但是我并不能证明


我计算了一下,
m[2]约等于4.12
m[3]的准确值似乎应该是6
m[4]约等于7.67024
m[5]约等于9.4这样

m[2]/2,m[3]/3,m[4]/4.................似乎还是单调递减的数列,而m[k]/k又大于0,单调减又有下界的数列肯定是有极限的,那么这个极限值又是多少呢?


看了9楼的回答,我不得不把我的所有提问整理到楼主帖当中。
不过9楼的只是回答了m[2]的值
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2010-7-3 18:44:58 | 显示全部楼层
m[k]的定义是啥?
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发表于 2010-7-3 19:09:06 | 显示全部楼层
此问题 在原帖已经解决了,

参考29楼及以后mathe的分析
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 楼主| 发表于 2010-7-3 19:27:37 | 显示全部楼层
我还是把29楼的链接弄到这边吧
/thread-164-3-1.html
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 楼主| 发表于 2010-7-3 19:34:52 | 显示全部楼层
9楼的 wayne ,麻烦你把你的所有的结论整理一下,然后贴在这个帖子后面,好吗?那儿的我看的不怎么明白
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 楼主| 发表于 2010-7-3 19:51:34 | 显示全部楼层
不过我觉得m[3]的准确值似乎应该是6,但是 wayne 算出来的是3*(2+5^0.5)^0.5=6.17451,从逻辑上来说,你我似乎至少有一个人是错误的
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发表于 2010-7-3 19:56:53 | 显示全部楼层
你可以看61楼所说的

更详细的有下面这个结论

http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?t=64933

如果所有变量相等能落在下凸区间里,那么就ok;
否则,就是一个变量落在外面,其他变量都相等落在下凸区间里.
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发表于 2010-7-3 20:21:03 | 显示全部楼层
6# mathematica


看33楼,是 6.0043029605431965656237025541486,
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发表于 2010-7-3 21:57:05 | 显示全部楼层
那个链接中16#的内容也挺有用的,就是由于发表比较早,是word文件,如果谁有空,可以将它转出来到这里。
我们现在知道由于不存在边界情况,最小值只能两种情况取到
i)n个$x_i$全部相等
ii)n-1个$x_i$相等,而且小于$sqrt(2+sqrt(5))$,还有一个$x_n$大于$sqrt(2+sqrt(5))$,而且$x_1$和$x_n$处导数相等。
如果和$S>=nsqrt(2+sqrt(5))$,那么情况i)不可以取到(凹函数的性质)
而如果$s<=2n$,那么由于情况1)的平均值小于2,而情况ii)对应的情况n-1个相等的值小于2,对应的函数值在这段区间递减,所以情况ii)必然不可能取到最小值,所以只能取情况i)
只有在$2n<S<nsqrt(2+sqrt(5))$我们还需要进一步分析(同时比较两种情况)
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发表于 2010-7-3 22:07:22 | 显示全部楼层
16楼的文章我也看了,mathe发现的分离法很有用。我对该文作了一些简化和图解,如果发出来相信能澄清不少疑问,不过这么做似乎有掠美之嫌。
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