由“陈计的一道代数不等式”所发出的疑问

wayne

30# mathe 我需要点时间来理解

hujunhua

不过我只算了n=3, 4的结果. 凭这两个结果，我基本断定mathe在23#算出来其它数据也是临界线。

mathe

现在唯一还没有解释的是函数$x^2y^2=(x+y)^2+1$的凸性。我现在还是没有找到好的办法。不过可以通过计算机直接计算$y={x+sqrt(x^4+x^2-1)}/{x^2-1}$的二阶导数为 ${9x^8+4*x^6-6*x^2+1+sqrt(x^4+x^2-1)*2*x*(x^2+3)*(x^4+x^2-1)}/{sqrt(x^4+x^2-1)*(x-1)^3*(x+1)^3*(x^4+x^2-1)}$,容易证明对于$x>1$,多项式$9x^8+4*x^6-6*x^2+1$没有根，也就是恒大于0,所以可以看出二阶导数恒大于0，函数凸

mathe

由于hujunhua的word文档里面几个图很重要，特意将它解出来，放在这里: 下面是函数$x^2y^2=(x+y)^2+1$,虚线部分是$xy$的情况和在$x 另外，他还做了n=3时对应约束条件$x+(n-1)y=ns$和这个曲线的相交情况：

mathe

33#的方法可以说明红色曲线右边部分是凸的，所以约束直线同它交点不超过两个，再加上同直线部分交点，最多3个. 我们感兴趣的部分仅仅限于约束直线同红色部分有两个以上交点的情况，也就是那条过绿色点的切线和过红色曲线折点（最高点）的直线两者之间的那些约束直线。 而27#和30#的结果说明，函数$f(x)+(n-1)f(y)-nf(s)$在上面我们感兴趣的范围关于s单调。 而按照极值本身的意义，我们已经知道上面函数在两个边界分别取不同的符号，所以存在唯一s使这个函数等于0，也就是原题中分界点s唯一存在

mathe

而这个结论我们也可以对它进行稍微推广 我们已经知道对于连续函数f如果先凸后凹，而且最值不在边界上取到，那么给定于约束条件 $x_1+x_2+...+x_n=ns$,函数$f(x_1)+f(x_2)+...+f(x_n)$的取最值必然满足条件 $x_1=x_2=...=x_{n-1}$，其中有两种不同情况 i)$x_n=x_1$ ii)$x_n!=x_1$,(最小值是$x_n>x_1$,最大值时$x_ns_b$时取最值情况为这两种不同的情况

hujunhua

问题解决到这一步，回头看陈计的题，a+b+c=6时, 求 (a+1/a)(b+1/b)(c+1/c)的最小值最是微妙。微妙之处在于： 一、n=3时开始需要洞察到变量分离法，用到n=2时的结果； 二、临界值$s_3=2.00286$，s=2这个整数掐得多近啊，这份拿捏功夫！

wayne

37# hujunhua

这个整数掐得多近啊，这份拿捏功夫

wayne

23# mathe 神奇的mathe早已经给出高精确的s值了，我对此题的理解有点慢，只能给出高高精度的，才有跟帖的价值， top 10排行榜： {n, s} {2, 2.0581710272714922503219810475804504212387300996778}, {3, 2.0028674080635001794119851594353895098591936385472}, {4, 1.9283589164749804283600849366519208504935143395754}, {5, 1.8640076500005248507773550047112668361246680901544}, {6, 1.8105143812281631669294470754518372814844653568853}, {7, 1.7657823500187398298944449193114661418077918949117}, {8, 1.7278643120491339236763397022549142889744738389515}, {9, 1.6952694244404093388197036920544540897631915879043}, {10, 1.6668919831355021439286590328354351752602362836085}, {11, 1.6419090461609485136610166407540222037432376500598}, {12, 1.6196998599244209974512574541584269465411413557634}

wayne

高高精度总不如无限高精度的好。 s系列其实都是多项式方程的根： {2, -1 - 4*x^2 + x^4} {3, -4 - 36*x^2 - 60*x^4 + 457*x^6 + 1461*x^8 + 1071*x^10 - 509*x^12 + 36*x^14} {4, -729 - 26244*x^2 - 329859*x^4 - 2874096*x^6 - 16600378*x^8 - 68966200*x^10 - 183076422*x^12 - 280980368*x^14 - 218905469*x^16 - 48391908*x^18 + 23933273*x^20 + 2381600*x^22 + 186624*x^24} {5, -16384 - 1359872*x^2 - 41353216*x^4 - 541713408*x^6 - 3957156864*x^8 - 15621579919*x^10 - 16791299867*x^12 + 203477198919*x^14 + 1265336818547*x^16 + 3517335778186*x^18 + 5474228856274*x^20 + 4744701519022*x^22 + 1821348677126*x^24 - 180895197387*x^26 - 287319416391*x^28 - 8728684325*x^30 + 4119204375*x^32 + 256000000*x^34} {6, -9765625 - 1523437500*x^2 - 93662109375*x^4 - 2869677200000*x^6 - 43856178562500*x^8 - 426367768200000*x^10 - 3256991816703404*x^12 - 20551141470472656*x^14 - 104682448638081198*x^16 - 441720325329389784*x^18 - 1509471855961088082*x^20 - 3926393828351061072*x^22 - 7397952451431626452*x^24 - 9750327328655857056*x^26 - 8606585655512645148*x^28 - 4634389713239170544*x^30 - 1101363810290145057*x^32 + 187430531178930804*x^34 + 158527837555622617*x^36 + 24255575981678736*x^38 + 3069545696251488*x^40 + 322121569326336*x^42 + 16402500000000*x^44} 方程的次数呈等差数列趋势，后面的更长，我就不贴了，较真的你可以查看附件，附件我已经给到n=12了。