由“陈计的一道代数不等式”所发出的疑问

mathe

那最好能够发出来，和大家共享一下，这里最重要的是大家的共同参与。

icesheep

16楼的文章我也看了，mathe发现的分离法很有用。我对该文作了一些简化和图解，如果发出来相信能澄清不少疑问，不过这么做似乎有掠美之嫌。 hujunhua 发表于 2010-7-3 22:07

不会不会! 求图解!

hujunhua

边看球边整理的，没有什么数值计算。 ineq.doc (189.5 KB, 下载次数: 29)

2010-7-4 13:07 上传

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比前面几个帖子用了些不同的符号，真是不好意思，不是故意的。

hujunhua

算是对mathe和wayne等人的计算结果的一个方向性解释吧，不能与他们的工作相比的。 我由图解法粗略计算的结果，m(3)/3=2.00286, 与wayne的有点区别，待有空了用解析法精算一下。

mathe

hujunhua的方法挺有意思的，他定义了隐函数$x^2y^2=(x+y)^2+1$,不过我们需要证明这个函数是凸函数才能够有hujunhua的结论。（当然这个函数单调减很容易证明） 另外，在证明函数是凸函数以后，我们可以得出在s的一定范围内，会得到两个不同的极值点（不包含n个数全相等的情况），但是最小值会在哪个极值点（或者全部相等时）还是很难判断。至于是否正好存在唯一一个$s_3$作为两种极值点取到最值的边界也不能确定

mathe

如果采用直接求二阶导数的方法证明上面隐函数是凸的，计算挺复杂的。不过我发现我们可以有比较取巧的方法。证明函数是凸的，我们只需要在函数上面取两个点$(x_1,y_1),(x_2,y_2)$,然后证明它们的中点在函数上方。也就是已知正数$x_1^2y_1^2=(x_1+y_1)^2+1,x_2^2y_2^2=(x_2+y_2)^2+1$,求证 ${(x_1+x_2)^2(y_1+y_2)^2}/16>={(x_1+x_2+y_1+y_2)^2}/4+1$ 这个我们只要主要到隐函数单调减，可以假设存在正数a,b使得$ax_1+by_1=ax_2+by_2=c$ 于是对于两个点的中点$(x_0={x_1+x_2}/2,y_0={y_1+y_2}/2)$,必然也有$ax_0+by_0=c$ 我们只需要证明函数$x^2y^2$在约束条件$ax+by=c$下的最小值只能在边界上取到就可以了

hujunhua

我原以为那条切线是临界线，上午抽空算了一下，发现不是，赶紧改掉了。无法显示临界线的特征，使这个图解法的地位大打折扣。 要是早加谨慎，算出切线不是临界线，我都不会发言了。

mathe

16#我的证明凸函数的方法还是不对，不过用上面的方法，利用约束条件可以将y消去，然后证明余下关于x的函数是凹的，还是可以的。 不过虽然临界线不是切线，但是这个图解法还是挺有用的，至少这种方法在给定n后可以比较容易的算出存在多个极值点的范围以及极值点的数目。但是是否存在临界线还需要讨论

hujunhua

用图解法时，对图像形态特征的把握，我首先是凭几何画板或者mathematica精确画图，加上少许定性分析，暂时放过严格的分析证明。 追究到底，这是一种数值方法，因为机器精确绘图的实质是点的高精度计算，只不过不用人工编程，计算过程不可见罢了。 几何画板可见的数值精度是5位小数。

hujunhua

对线段$x+2y=3s(x>0, y>0)$（以下称为约束线）上的点$(x,y),$构造目标函数$f(x,y)=(x+1/x)(y+1/y)^2$. 从前面的结果知道$f(x,y)$的驻点集＝{约束线与解曲线的交点}。由图像显见，最多只有3个驻点。 在约束线的两端，f(x,y)→+∞，所以如果有3个驻点的话，左驻和右驻都是极小点，中驻为极大点。位于切线与折点之间的约束线与解曲线有3个交点，正是这种情况。 位于切线以下的约束线只有唯一驻点，必是极小点。 位于折点$(s_0, s_0)$之上的约束线也只有一个驻点，必是极小点。 切线上的3个驻点，中驻与右驻重合于切点，必是拐点，所以左驻为极小点。f(左)－f(右)<0 过折点的约束线上的3个驻点，左驻与中驻重合于折点，必是拐点，所以右驻为极小点。f(左)－f(右)>0 在切线与折点之间，f(左)－f(右)是s的连续函数，所以f(左)＝f(右)的临界线是存在的，问题是有几条. f(x,y)的曲线在几何画板中可以画出来。图待补充