由“陈计的一道代数不等式”所发出的疑问

hujunhua

方程的最高系数呈等差数列趋势，应该是方程的次数。 搞个s-n的拟合曲线，找个比较好的拟合公式看看如何？

mathe

我前面的解方程程序效率有点低，改一个高效点的算法

2. f0(x)=
3. {
4. (sqrt(x^4+x^2-1)+x)/(x^2-1)
5. }
7. d0(x,n)=
8. {
9. local(y,s);
10. y=f0(x);
11. s=(x+(n-1)*y)/n;
12. (n-1)*log(y+1/y)+log(x+1/x)-n*log(s+1/s)
13. }
14. sf2(n)=
15. {
16. local(x,r,y);
17. r=getub(n);
18. x=solve(X=r[1],r[2],d0(X,n));
19. y=f0(x);
20. (x+(n-1)*y)/n
21. }

复制代码

其中getub只是用来估计解的一个范围，前面代码里有，最主要是d0函数和f0函数，这里都贴出来了。 可以看出，结果应该是一个代数数，但是它的极小方程还是比较复杂的

wayne

42# mathe 嗯，是很复杂，昨晚我为了得到一般方程，都搞的没睡个好觉了

wayne

41# hujunhua 拟合太经验了，只有经验丰富的人才有可能出奇制胜。 大大你给一个公式模型，我来拟合？

hujunhua

根据wayne的2~12的数据截取5位小数画的折线图，看其走势。再加上mathe的20，100，1000的数据（取3位小数，好浪费哦 ）

wayne

45# hujunhua 拟合s-n比较难，但给出曲线的走势还是可以的。 我们知道，s其实就是下列方程组的解： $x + (n - 1) y = n s$ $x^2 y^2 = (x + y)^2 + 1$ $(s + 1/s)^n = (x + 1/x) (y + 1/y)^(n - 1)$ 对于给定的n，此方程组是多项式形式的，有代数数解。 但从一般性的角度来讨论的话，n待定，此方程组就含有指数成分，是非线性的，这就是为什么我们一直找不出s(n)的一般解的原因。 要描述s-n的走势，即 n很大时曲线的形状，可以做一些特殊处理： 当n都很大时，x很大，y接近于1，上述方程组其实就是： $x+n=ns$ $(s + 1/s)^n= (x + 1/x)*2^(n - 1)$ 消去x得到： $n (2 - 2 s) ((s^2 + 1)/(2 s))^n + n^2 (1 - 2 s + s^2) == -1$ 这就是s-n的走势曲线

mathe

上面的方法是不行的。我估计$s~=1+c*sqrt{{log(n)}/n}$

mathe

其实x,y的关系说明$(x-1)(y-1)->1$ 然后约束条件$x+(n-1)y=ns$说明$11$ 这里我们已经大概知道$s-y$和$y-1$都应该近似为$1/{sqrt{n}}$ 记$u=s-1>v=y-1$,我们知道$n uv->1$,而且$2(1+u^2/2)^n~=1/v(1+v^2/2)^n$ 或者说近似于$2v~=(1-{u^2-v^2}/2)^n~=exp(-{n(u^2-v^2)}/2)$ 于是u,v都接近$c/{sqrt{n}}$而且$u^2-v^2$接近${log(n)}/n$ s仅仅接近$1+c/{sqrt{n}}$还是不够的，我们可以微调到上一楼的结果。

wayne

45# hujunhua 再多给点数据，精确到最后一位： {3, 2.00286740806350017941198515943545931361} {4, 1.9283589164749804283600849366519560639} {5, 1.86400765000052485077735500471126683613} {6, 1.81051438122816316692944707545183728148} {7, 1.76578235001873982989444491931146614181} {8, 1.72786431204913392367633970225491638819} {9, 1.69526942444040933881970369205445408976} {10, 1.66689198313550214392865903283543517526} {11, 1.64190904616094851366101664075402220374} {12, 1.6196998599244209974512574541584287912} {13, 1.59978869842201869056004669676183358389} {14, 1.58180517574496658723209695065387815411} {15, 1.56545660481407284533740801524947779306} {16, 1.55050851817644197976392356354789658309} {17, 1.5367707372478112927676021766159055014} {18, 1.52408725542126641935994748503824288176} {19, 1.51232877977090028689582251305994783841} {20, 1.50138715374182425550739674900868882105} {21, 1.49117113037198696816232030789158595774} {22, 1.481603128981051478805513257481434365} {23, 1.47261671766567601608562219697005149641} {24, 1.46415463821023838316030988522039252819} {25, 1.45616724114422507854121331602445094798} {26, 1.4486112343465122080296824494356282472} {27, 1.44144867381000076000046233040898435983} {28, 1.43464614322487864607990982178408997221} {29, 1.42817408210585004403922210801221054461} {30, 1.4220062317567129945412344765141001355} {31, 1.41611917544533369254102429082160513084} {32, 1.41049195445244880077344760779527345639} {33, 1.4051057456479795593700060551553949446} {34, 1.39994358928469090337863094895696596845} {35, 1.39499015802841523529377394252379049117} {36, 1.39023156004523883530353774388849366078} {37, 1.38565517036913390218387987164360902442} {38, 1.38124948587417599494888974270272683602} {39, 1.37700400004464983512682767443775686515} {40, 1.37290909442703835047823373266554024708} {41, 1.36895594420004818247311699643331377899} {42, 1.36513643574275156839766072988517148305} {43, 1.36144309443977055373412981089021928638} {44, 1.35786902125399984336720056851594591129} {45, 1.35440783683543930473427573602498607559} {46, 1.3510536321300155887091520853891945445} {47, 1.34780092461321684380654451302931688756} {48, 1.34464461940656131097555379617152740538} {49, 1.34157997464560704966451256923364150444} {50, 1.33860257056055295892954001842319703868}

hujunhua

我没带本本，前图是用wolframalpha做的，命令不能太长，所以只能使用少量数据和很小的精度。