由“陈计的一道代数不等式”所发出的疑问

mathe

数值计算表明，除了n=4以外，其他都是取切线？？？

1. s0()=
2. {
3. sqrt(2+sqrt(5))
4. }
6. f0(x)=
7. {
8. (sqrt(x^4+x^2-1)+x)/(x^2-1)
9. }
11. df0(x)=
12. {
13. local(t);
14. t=sqrt(x^4+x^2-1);
15. -((x^2+1)*t+3*x^3-x)/((x^4-2*x^2+1)*t)
16. }
18. pl(n)=
19. {
20. local(s,b,e);
21. b=s0();
22. e=2*b;
23. s=-1.0/(n-1.0);
24. while(df0(e)<=s,e=e*2);
25. solve(X=b,e,df0(X)-s)
26. }
28. getsr(n)=
29. {
30. local(b,ex,ey,e);
31. b=s0();
32. ex=pl(n);
33. ey=f0(ex);
34. e=(ex+(n-1)*ey)/n;
35. [e,b]
36. }
38. getub(n)=
39. {
40. local(b,e);
41. b=pl(n);
42. e=2*b;
43. while(e+(n-1)*f0(e)<n*s0(),e=2*e);
44. [b,e]
45. }
47. fx(n,b,e,s)=
48. {
49. solve(X=b,e,X+(n-1)*f0(X)-n*s)
50. }
52. hx(n,b,e,s)=
53. {
54. local(x,y);
55. x=fx(n,b,e,s);
56. y=(n*s-x)/(n-1);
57. log(x+1/x)+(n-1)*log(y+1/y)
58. }
60. pf(n)=
61. {
62. local(ub,sr);
63. ub=getub(n);
64. sr=getsr(n);
65. plot(s=sr[1]+0.000001,sr[2],n*log(s/n+n/s)-hx(n,ub[1],ub[2],s));
66. }

复制代码

mathe

呵呵，上面代码错了一个小地方。（主要由于hujunhua和我使用的记号不同迷惑了我） 改了以后就可以看出解总是存在而且唯一

2. s0()=
3. {
4. sqrt(2+sqrt(5))
5. }
7. f0(x)=
8. {
9. (sqrt(x^4+x^2-1)+x)/(x^2-1)
10. }
12. df0(x)=
13. {
14. local(t);
15. t=sqrt(x^4+x^2-1);
16. -((x^2+1)*t+3*x^3-x)/((x^4-2*x^2+1)*t)
17. }
19. pl(n)=
20. {
21. local(s,b,e);
22. b=s0();
23. e=2*b;
24. s=-1.0/(n-1.0);
25. while(df0(e)<=s,e=e*2);
26. solve(X=b,e,df0(X)-s)
27. }
29. getsr(n)=
30. {
31. local(b,ex,ey,e);
32. b=s0();
33. ex=pl(n);
34. ey=f0(ex);
35. e=(ex+(n-1)*ey)/n;
36. [e,b]
37. }
39. getub(n)=
40. {
41. local(b,e);
42. b=pl(n);
43. e=2*b;
44. while(e+(n-1)*f0(e)<n*s0(),e=2*e);
45. [b,e]
46. }
48. fx(n,b,e,s)=
49. {
50. solve(X=b,e,X+(n-1)*f0(X)-n*s)
51. }
53. hx(n,b,e,s)=
54. {
55. local(x,y);
56. x=fx(n,b,e,s);
57. y=(n*s-x)/(n-1);
58. log(x+1/x)+(n-1)*log(y+1/y)
59. }
61. pf(n)=
62. {
63. local(ub,sr);
64. ub=getub(n);
65. sr=getsr(n);
66. plot(s=sr[1]+0.000001,sr[2],n*log(s+1/s)-hx(n,ub[1],ub[2],s));
67. }

复制代码

mathe

添加一个函数计算边界s的数值解，采用hujunhua的记号，即s是所有$x_i$的平均值:

1. sf(n)=
2. {
3. local(ub,sr);
4. ub=getub(n);
5. sr=getsr(n);
6. solve(s=sr[1]+0.0000000001,sr[2],n*log(s+1/s)-hx(n,ub[1],ub[2],s))
7. }

复制代码

(06:56) gp > sf(3) %6 = 2.002867408063500179411985161 (06:56) gp > sf(4) %7 = 1.928358916474980428360084936 (06:56) gp > sf(5) %8 = 1.864007650000524850777355005 (06:56) gp > sf(6) %9 = 1.810514381228163166929447075 (06:56) gp > sf(7) %10 = 1.765782350018739829894444919 (06:56) gp > sf(8) %11 = 1.727864312049133923676339702 (06:56) gp > sf(9) %12 = 1.695269424440409338819703692 (06:56) gp > sf(10) %13 = 1.666891983135502143928659033 (06:56) gp > sf(20) %14 = 1.501387153741824255507396749 (06:56) gp > sf(100) %15 = 1.250349255508031551479807498 (06:56) gp > sf(1000) %16 = 1.090580657781168832151185931 (06:57) gp > sf(2) %17 = 2.058171027371492250321981048

mathe

将plot函数改成ploth可以画出高精度的图（但是速度很慢） 如图，4个图分别是n=3,4,100,1000的情况

mathe

现在我们记$f(x)=ln(x+1/x),x>0$,那么我们现在的简化后的问题是已知 $x+(n-1)y=n*s$,求$f(x)+(n-1)f(y)$的最小值 我们可以改目标函数为$g(y)=f(n*s-(n-1)*y)+(n-1)f(y)$ 于是$g'(y)=-(n-1)f'(x)+(n-1)f'(y)$,所以在$f'(y)=f'(x)$时才有$g'(y)=0$ 同样$g''(y)=(n-1)^2f''(x)+(n-1)f''(y)$ 其中$f'(y)={y^2-1}/{y^3+y},f''(y)={1+4y^2-y^4}/{y^2(y^2+1)^2}$

wayne

23# mathe 能保证精度吗？ 我是说，有误差分析吗

mathe

我们应该改为在约束条件${(x+(n-1)y=ns),(f'(x)=f'(y)):}$之下，求目标函数$f(x)+(n-1)f(y)-nf(s)$的情况，而我们需要证明这个目标函数关于s是单调的，也就是说，上面目标函数只能在边界取到最值。 对这个函数采用拉格朗日极值法，得到 ${(f'(x)+lambda_1+lambda_2*f''(x)=0),((n-1)f'(y)+(n-1)lambda_1-lambda_2*f''(y)=0),(-nf'(s)-nlambda_1=0):}$ 于是$lambda_1=-f'(s)$,再由$f'(x)=f'(y)$这个已知条件得出$f'(s)=f'(x)$或$(n-1)f''(x)+f''(y)=0$ 由于我们已经知道在我们讨论的范围内必然有$f'(s)!=f'(x)$,所以只能取第二种可能。 也就是我们需要证明方程 ${(f'(x)=f'(y)),((n-1)f''(x)+f''(y)=0):}$没有符合要求的解

mathe

23# mathe 能保证精度吗？ 我是说，有误差分析吗 wayne 发表于 2010-7-8 12:48

计算精度应该足够高了，而且计算结果也很合理。现在余下问题主要就在于如果能够证明差值函数是关于s的单调增函数就好办了

hujunhua

23#的结果与14#的结果，小数点前5位是相同的。我没带本本（太重，2.7公斤），无法精算，只能用execel或者几何画板计算，可以保证前5位。 现在终于敢说：wayne在8#算的6.0043029605431965656237025541486不正确。因为6.00430.../3=2.00143...<2.00286...

mathe

呵呵，现在找到解决方法了。 我们查看hujunhua定义的曲线$x^2y^2=(x+y)^2+1$,它等价于$f'(x)=f'(y)$ 把后面的表达式看成y关于x的隐函数，我们可以得到$dy/dx={f''(x)}/{f''(y)}$ 于是27#最后的要求相当于在曲线$x^2y^2=(x+y)^2+1$上取一点，这个点处切线的斜率为$-1/{n-1}$,于是这个唯一的极值点对应与我们一直关注的那条切线的切点，也就是说正好在我们讨论的范围的边界上。而对于我们感兴趣的那个区域，整个区域里面不在存在任何极值点，所以如果将目标函数$f(x)+(n-1)f(y)-nf(s)$看成s的隐函数，在我们讨论的范围里面它是单调的，这个正好解释了24#的图像。也就是说，我上面用二分法来计算总是不会出问题的，而我们讨论的s的分界点是唯一存在的。