[讨论] 陈计的一道代数不等式 相关搜索: 不等式, PariGp

mathe

陈计是武汉大学数学系的，曾自称中国不等式第一人。
擅长各种几何不等式。不过他的一道代数不等式给我留下很深的影响
如果
a,b>0,而且a+b=4
求证
$(a+1/a)(b+1/b)>=25/4$
同样，三个数时
如果a,b,c>0,而且a+b+c=6
求证
$(a+1/a)(b+1/b)(c+1/c)>=125/8$
如果四个数时，那么情况如何？请问这时最小值是多少，5个以上的数又如何？

一般解法在16#

troy

看了下，会证简单的，2个数的时候，以上的不会了

mathe

贴出来看看，3个数的可以把2个数情况稍微推广一下加以利用的。
4个以上应该要用微积分了，至少我无法用初等方法解答

kofeffect

这里提供两个附件，看官们可以瞧瞧^_^
Topics in inequalities.pdf (382.88 KB)

Topics in inequalities
下载次数: 86

2008-2-7 11:26

Problems in Elementary Number Theory.pdf (415.92 KB)

Problems in Elementary Number Theory
下载次数: 33

2008-2-7 11:26

mathe

你提供的附件里面有没有包含上面的不等式？
内容太多了

kofeffect

不好意思那，我看了一下是没有mathe说的题目的！

原本是想给各位看官看看，因为也是关于不等式滴，希望能给大家提供点思路

偶也没有细看（该打PP，不认真！！ ）

cauchy

中国不等式第一人？
冷刚松的不等式也很强

troy

下载看看~~~~~~~~~

troy

证明：as a,b>0 and a+b=4
      assume $f=(a+1/a)(b+1/b)=ab+(a^2+b^2+1)/(ab)$
      as $a^2+b^2+2ab=(a+b)^2$
      then $f>=ab+[(a+b)^2-2ab+1]/(ab)=ab+(16-2ab)/(ab)+1/(ab)=ab+17/(ab)-2$
      assume $ab=t$ then $f>=t+17/t-2$
      所以$a,b$是$x^2-4x+t=0$的两个根
      所以$\Delta=4^4-4*t>=0$
      所以$t<=4$
      即$ab<=4$
      易证：$y=x+17/x$在$(0,sqrt(17))$是递减的,即在(0,4]是递减的
            所以当x=4时，$ymin=4+17/4$
      所以  $f=t+17/t-2>=4+17/4-2=25/4$

[ 本帖最后由 mathe 于 2008-2-12 17:18 编辑 ]

kenmark

这样看起来就是累啊，好希望数学论坛多一个数学公式的嵌入啊～