陈计的一道代数不等式

he_2100

有意思.

数学星空

mathe的数学功底太强了,支持!!!!

icesheep

考虑 f(x)=ln(x+1/x)用控制不等式吧

wayne

53# icesheep
控制不等式，挺新鲜的，请楼上的继续

icesheep

http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?t=64933

这个结论可以把a+b+c=Const ，求 f(a)+f(b)+f(c) 这类问题变成一元的问题

mathe

链接中的英文挺烂的，让人看起来费劲，而且看不大懂
不过结论应该是错误的，比如我们直接取问题:
已知,对于正数$x_1,x_2,x_3,x_4$满足$x_1+x_2+x_3+x_4=8$,求
$(x_1+1/{x_1})(x_2+1/{x_2})(x_3+1/{x_3})(x_4+1/{x_4})$的最小值
这个最小值在$x_1=x_2=x_3=1.384649...,x_4=3.846053$时取到,为38.399751..
而根据链接中的结论，由于$ln(x+1/x)$在$x>0$时先凸后凹，所以必然只能是所有数相等或部分取到最大值时相等，这显然是错误的（只能取一个8，其余为0了)
不过可以改为说明如果函数先凸后凹或先凹后凸（也就是一阶导数等于任何值都最多只有两个不同原像），那么这样的问题取最大或最小值时，其中各个$x_i$最多取两个不同的值。

icesheep

链接里的意思就是各个xi 最多取两个不同的值阿,注意 x[k] 是待定的;
取最大值时,第k+1到第n个变量是相等且待定的;
取最小值时,第1到第k-1个变量是相等且待定的.

你的反例就是取最小值的情况,x[4]就是那个x[k],x[1]=x[2]=x[3]待定

wayne

该链接很不错~~

不过，跟本题还是有差别的

wayne

57# icesheep

看看前面的帖子，就知道，mathe在56楼给的例子，四个参数，和为8，目标式子最小值为38.3998，具体的是下面方程的根
29168986292224-768448618496 x-14036606208 x^2+253258272 x^3+3080025 x^4=0
，其中x1,x2,x3取值为1.38465，具体的为方程-65 + 32 x + 60 x^2 - 48 x^3 + 9 x^4=0的根

mathe

本题是可以转化为链接中的情况的，只是链接中至少顶楼的结论是错误的（它总是去两个值而且要在边界上）。
不过链接中6#的结论估计是正确的，但是不适用于本题。
而我提到的结论（总是取两个值的情况，但是不一定某个值在边界上）链接中没有提到。