三角形两条角平分线相等则等腰
已知一个三角形的2条角平分线相等，求证是等腰三角形。（据说此题有20多种做法，那位能介绍一下） 搜搜Steiner–Lehmus 定理 我最欣赏的是下面这个直接几何证明。
如图，以那两条角平分线为底作两个全等的等腰三角形BEG和CFH，顶角都等于A，两底角等于(B+C)/2。
那么BEAG内接于圆，CFAH亦然，所以有图中所标的各种角度关系。
按所得角度关系有GAH共线，BCGH共圆，所以BCGH是一个等腰梯形。余略。
借楼上的图，用三角法。
假定ΔABC的外接圆为单位圆，则`AC=2\sin2α,AB=2\sin2β,BC=2\sin(2α+2β)`
在△BCF中, 由正弦定理得 `\D CF=\frac{2\sin2α\sin(2α+2β)}{\sin(2α+β)}`
在△BCE中, 由正弦定理得 `\D BE=\frac{2\sin2β\sin(2α+2β)}{\sin(2β+α)}`
\(\D CF=BE→\sin2α\sin(α+2β)=\sin2β\sin(2α+β)\)
\[\begin{split}
&\sin2α\sin(α+2β)-\sin2β\sin(2α+β)=0\\
\to&\left(\cos α\cos β+\cos^2(α+β)\right)(\cos α-\cos β)=0\\
∵&\ \cos α>0,\cos β>0,\cos^2(α+β)>0\\
∴&\ \cos α-\cos β=0→α=β
\end{split}\] 楼上的三角法也可以转换为边长表示的代数方法
给定a, b, c三边，记半周长为p, 则有角平分线长度公式\[
t_b=\frac{2\sqrt{ac}}{a+c}\sqrt{p(p-b)},t_c=\frac{2\sqrt{ab}}{a+b}\sqrt{p(p-c)}
\]\[\begin{split}
t_b=t_c&→c(p-b)(a+b)^2=b(p-c)(a+c)^2\\
&→(b-c)(pa^2+pbc+abc)=0\\
&→b=c
\end{split}\]
补充内容 (2023-4-11 08:55):
这是别人编辑后的回复，我的回复见https://bbs.emath.ac.cn/forum.php?mod=redirect&goto=findpost&ptid=2497&pid=95302&fromuid=14149
补充内容 (2023-4-11 08:57):
虽然我觉得这编辑后的过程容易笔纸验证，但是我还是喜欢电脑版本的！电脑版本简单、快速、不费力！ 施泰纳一莱默斯定理
https://baike.baidu.com/item/%E6%96%BD%E6%B3%B0%E7%BA%B3%E4%B8%80%E8%8E%B1%E9%BB%98%E6%96%AF%E5%AE%9A%E7%90%86/18895941?fr=aladdin
施泰纳-莱默斯定理(Steiner-Lehmus theorem)是几何学史中一个著名的定理，若一个三角形的两条内角平分线相等，则此三角形是等腰三角形。这个命题是1840年莱默斯(C.L.Lehmus)在给斯图姆(C.-F.Sturm)的一封信中提出的，他希望能用纯几何的方法证明，施泰纳(J.Steiner)首先给出证明，施泰纳的原证相当复杂，此后乃至近100年间还有这方面的文章，可见这个定理是何等引人入胜 。 高相等等腰，中线相等，这都太简单，就不用提了。 nyy 发表于 2023-4-10 11:02
楼上的三角法也可以转换为边长表示的代数方法
给定a, b, c三边，记半周长为p, 则有角平分线长度公式\[
t ...
哪位活雷锋编辑了我的帖子？
我还是喜欢我自己的回复。因为我喜欢用软件计算，我不喜欢人工计算，人工计算太累人了！
电脑计算也容易被别人复制粘贴、供别人验证！
分别验算角平分线、中线
Clear["Global`*"];(*清除所有变量*)
(*子函数,计算角平分线长度,求的是角c的平分线*)
ca:=Module[{p},p=(a+b+c)/2;2/(a+b)*Sqrt]
(*计算c边的角平分线的平方减去b边的角平分线的平方,然后分解因式*)
f=ca^2-ca^2//Factor
Clear["Global`*"];(*清除所有变量*)
(*子函数,已知△ABC的a b c三边长度,求c这条边上的中线长度*)
zx:=Sqrt[(a^2+b^2-c^2/2)/2]
f=zx^2-zx^2//Factor
角平分线结果，tc、tb分别表示c b边上的角平分线，
\
由上面的结果，很容易得到b=c
中线结果，zc、zb分别表示c b边上的中线。
\
由上面的结果，很容易得到b=c 王守恩 发表于 2023-4-10 08:22
借楼上的图，用三角法。
假定ΔABC的外接圆为单位圆，则`AC=2\sin2α,AB=2\sin2β,BC=2\sin(2α+2β)`
Clear["Global`*"];(*清除所有变量*)
f=SinSin-SinSin//TrigFactor
帮你验证一下：
\[
\sin (2 a) \sin (a+2 b)-\sin (2 b) \sin (2 a+b)=0\\
=2 (1+\cos (a-b)+\cos (a+b)+\cos (2 a+2 b)) \sin \left(\frac{a}{2}-\frac{b}{2}\right) \sin \left(\frac{a}{2}+\frac{b}{2}\right)
\]
由上面的结果
\(2 (1+\cos (a-b)+\cos (a+b)+\cos (2 a+2 b))\)、\(\sin \left(\frac{a}{2}+\frac{b}{2}\right)\)这两项很容易证明大于零。
因此a=b https://www.math.uni-bielefeld.de/~sillke/PUZZLES/steiner-lehmus
明天好好看看
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