三角形两条角平分线相等则等腰

mlc1234

已知一个三角形的2条角平分线相等，求证是等腰三角形。
（据说此题有20多种做法，那位能介绍一下）

wayne

搜搜Steiner–Lehmus 定理

hujunhua

我最欣赏的是下面这个直接几何证明。
如图，以那两条角平分线为底作两个全等的等腰三角形BEG和CFH，顶角都等于A，两底角等于(B+C)/2。
那么BEAG内接于圆，CFAH亦然，所以有图中所标的各种角度关系。
按所得角度关系有GAH共线，BCGH共圆，所以BCGH是一个等腰梯形。余略。

王守恩

借楼上的图，用三角法。
假定ΔABC的外接圆为单位圆，则`AC=2\sin2α,AB=2\sin2β,BC=2\sin(2α+2β)`

在△BCF中, 由正弦定理得 `\D CF=\frac{2\sin2α\sin(2α+2β)}{\sin(2α+β)}`
在△BCE中, 由正弦定理得 `\D BE=\frac{2\sin2β\sin(2α+2β)}{\sin(2β+α)}`

\(\D CF=BE→\sin2α\sin(α+2β)=\sin2β\sin(2α+β)\)
\[\begin{split}
&\sin2α\sin(α+2β)-\sin2β\sin(2α+β)=0\\
\to&\left(\cos α\cos β+\cos^2(α+β)\right)(\cos α-\cos β)=0\\
∵&\ \cos α>0,\cos β>0,\cos^2(α+β)>0\\
∴&\ \cos α-\cos β=0→α=β
\end{split}\]

nyy

楼上的三角法也可以转换为边长表示的代数方法
给定a, b, c三边，记半周长为p, 则有角平分线长度公式\[
t_b=\frac{2\sqrt{ac}}{a+c}\sqrt{p(p-b)},t_c=\frac{2\sqrt{ab}}{a+b}\sqrt{p(p-c)}
\]\[\begin{split}
t_b=t_c&→c(p-b)(a+b)^2=b(p-c)(a+c)^2\\
&→(b-c)(pa^2+pbc+abc)=0\\
&→b=c
\end{split}\]

补充内容 (2023-4-11 08:55):
这是别人编辑后的回复，我的回复见https://bbs.emath.ac.cn/forum.ph ... 2&fromuid=14149

补充内容 (2023-4-11 08:57):
虽然我觉得这编辑后的过程容易笔纸验证，但是我还是喜欢电脑版本的！电脑版本简单、快速、不费力！

nyy

施泰纳一莱默斯定理

https://baike.baidu.com/item/%E6 ... 18895941?fr=aladdin

施泰纳-莱默斯定理(Steiner-Lehmus theorem)是几何学史中一个著名的定理，若一个三角形的两条内角平分线相等，则此三角形是等腰三角形。这个命题是1840年莱默斯(C.L.Lehmus)在给斯图姆(C.-F.Sturm)的一封信中提出的，他希望能用纯几何的方法证明，施泰纳(J.Steiner)首先给出证明，施泰纳的原证相当复杂，此后乃至近100年间还有这方面的文章，可见这个定理是何等引人入胜 [1]  。

nyy

高相等等腰，中线相等，这都太简单，就不用提了。

nyy

nyy 发表于 2023-4-10 11:02
楼上的三角法也可以转换为边长表示的代数方法
给定a, b, c三边，记半周长为p, 则有角平分线长度公式\[
t ...

哪位活雷锋编辑了我的帖子？

我还是喜欢我自己的回复。因为我喜欢用软件计算，我不喜欢人工计算，人工计算太累人了！
电脑计算也容易被别人复制粘贴、供别人验证！

分别验算角平分线、中线

1. Clear["Global`*"];(*清除所有变量*)
   
2. (*子函数,计算角平分线长度,求的是角c的平分线*)
   
3. ca[a_,b_,c_]:=Module[{p},p=(a+b+c)/2;2/(a+b)*Sqrt[a*b*p*(p-c)]]
   
4. (*计算c边的角平分线的平方减去b边的角平分线的平方,然后分解因式*)
   
5. f=ca[a,b,c]^2-ca[a,c,b]^2//Factor
   
6. 
   
7. Clear["Global`*"];(*清除所有变量*)
   
8. (*子函数,已知△ABC的a b c三边长度,求c这条边上的中线长度*)
   
9. zx[a_,b_,c_]:=Sqrt[(a^2+b^2-c^2/2)/2]
   
10. f=zx[a,b,c]^2-zx[a,c,b]^2//Factor
    

复制代码

角平分线结果，tc、tb分别表示c b边上的角平分线，
\[tc^2-tb^2=0=-\frac{a (c-b) (a+b+c) \left(a^3+a^2 b+a^2 c+3 a b c+b^2 c+b c^2\right)}{(a+b)^2 (a+c)^2}\]
由上面的结果，很容易得到b=c

中线结果，zc、zb分别表示c b边上的中线。
\[zc^2-zb^2=0=\frac{3}{4} (b-c) (b+c)\]
由上面的结果，很容易得到b=c

nyy

王守恩 发表于 2023-4-10 08:22
借楼上的图，用三角法。
假定ΔABC的外接圆为单位圆，则`AC=2\sin2α,AB=2\sin2β,BC=2\sin(2α+2β)`

1. Clear["Global`*"];(*清除所有变量*)
   
2. f=Sin[2a]Sin[a+2b]-Sin[2b]Sin[2a+b]//TrigFactor
   

复制代码

帮你验证一下：
\[
\sin (2 a) \sin (a+2 b)-\sin (2 b) \sin (2 a+b)=0\\
=2 (1+\cos (a-b)+\cos (a+b)+\cos (2 a+2 b)) \sin \left(\frac{a}{2}-\frac{b}{2}\right) \sin \left(\frac{a}{2}+\frac{b}{2}\right)
\]
由上面的结果
\(2 (1+\cos (a-b)+\cos (a+b)+\cos (2 a+2 b))\)、\(\sin \left(\frac{a}{2}+\frac{b}{2}\right)\)这两项很容易证明大于零。
因此a=b

nyy

https://www.math.uni-bielefeld.de/~sillke/PUZZLES/steiner-lehmus
明天好好看看