神秘的圆——三角形的“六接圆”
数联天地论坛中的watt5151朋友提出了这样的一个问题：有趣的几何题，巧妙的作法http://spaces.ac.cn/usr/uploads/2010/07/2746388302.jpg
如图，已知三角形ABC，如何做一个圆，它与三角形三边都相交，而且六个交点可以连成三条直径？
暂且可以称这个圆为三角形的“六接圆”吧？ 很有趣很巧妙的问题。
能够独立提出这样的问题实在是太棒了。
这样的圆应该是可以固定的。
它有$3$个自由度：
坐标$x$、坐标$y$、半径$r$。
又恰好有$3$个维度的约束：
$6$个交点连成$3$条直径。
所以这样的圆是可以固定下来的。
很佩服那位朋友的构思。 位似作图法，倒也不难。
作法：先作△ABC的一个旋转了90度的小相似形△123，它几乎内接于△ABC（两顶点落在△ABC的两边上），然后通过位似变换达到内接。具体作法如下。
1、在BC边上任取点1，作BC的垂线交AC于2，
2、过2作AC的垂线，过1作AB垂线，两垂线相交于3
3、连结直线C3，交AB于D
4、过D作AB的垂线交BC于E
5、过D作到AC的垂线段DF
6、D，E，F的外接圆 这是我的作法：
http://spaces.ac.cn/usr/uploads/2010/07/1249203015.jpg
1、选择三角形的一条边，作出它的中点；并且画出这条边上的高，作出高的中点；
2、作过这两个中点的直线(EF)；
3、选择三角形的另一条边，重复1,2步骤(作HI)；
4、找出1,2,3所作的两条直线的交点，这个交点就是圆心；
5、选择三角形其中一条边，作直线LM=2n，LM⊥BC交AC于点L，交BC于点M；
（注：第5步也可以改为“作直线LM=2n，LM⊥BC交AB于点L，交BC于点M”；）
6、以O为圆心，OM为半径画圆，这个圆就是所求圆。 很有趣很巧妙的问题。
能够独立提出这样的问题实在是太棒了。
这样的圆应该是可以固定的。
它有$3$个自由度：
坐标$x$、坐标$y$、半径$r$。
又恰好有$3$个维度的约束：
$6$个交点连成$3$条直径。
...
KeyTo9_Fans 发表于 2010-7-25 00:05 http://bbs.emath.ac.cn/images/common/back.gif
是的，对于锐角三角形来说，总是存在且唯一存在。但是对于钝角三角形来说，则未必了...(我是通过作图发现的，没有具体证明) 2021
作法：先作△ABC的一个旋转了90度的小相似形△123，它几乎内接于△ABC（两顶点落在△ABC的两边上），然后通过位似变换达到内接。具体作法如下。
1、在BC边上任取点1，作BC的垂线交AC于2，
2、过2作AC的垂线， ...
hujunhua 发表于 2010-7-25 03:37 http://bbs.emath.ac.cn/images/common/back.gif
我的方法比较规矩，从证明的角度，先确定圆心，再确定半径。
而版主的办法更胜巧妙呀！要多向版主学习
不过要是真的在图上画，不知道哪种方法的速度会快？ 若已知锐角三角形的三边长为a,b,c,求满足题意的"六接圆"半径R?
这个是 Cosine circle (2nd Lemoine circle).
半径是 {abc}/{a^2+b^2+c^2}, 圆心是类似重心 (symmedian). 按照8#图片的记号:
我们可以根据几何性质得到方程
{x1}/cos(A) = b-z1
{y1}/cos(B) = c-x1
{z1}/cos(C) = a-y1
x1*(c-y2) = x2*(b-z1)
y1*(a-z2) = y2*(c-x1)
z1*(b-x2) = z2*(a-y1)
解得: x1 = {cos(A)*(cos(C)*cos(B)*c+b-a*cos(C))}/(1+cos(B)*cos(A)*cos(C))
x2 = -{cos(A)*(-c+cos(B)*a-cos(B)*b*cos(C))}/(1+cos(B)*cos(A)*cos(C))
y1 = {cos(B)*(c-b*cos(A)+cos(A)*a*cos(C))}/(1+cos(B)*cos(A)*cos(C))
y2 = {cos(B)*(a+c*cos(A)*cos(C)-b*cos(C))}/(1+cos(B)*cos(A)*cos(C))
z1 = {cos(C)*(a+cos(B)*b*cos(A)-c*cos(B))}/(1+cos(B)*cos(A)*cos(C))
z2 = {cos(C)*(-c*cos(A)+cos(A)*cos(B)*a+b)}/(1+cos(B)*cos(A)*cos(C))
再利用余弦公式代入化简得:
x1 = -{c*(-b^2-c^2+a^2)}/(a^2+b^2+c^2)
x2 = -{b*(-b^2-c^2+a^2)}/(a^2+b^2+c^2)
y1 = {a*(a^2+c^2-b^2)}/(a^2+b^2+c^2)
y2 = {c*(a^2+c^2-b^2)}/(a^2+b^2+c^2)
z1 = {b*(b^2+a^2-c^2)}/(a^2+b^2+c^2)
z2 = {a*(b^2+a^2-c^2)}/(a^2+b^2+c^2)
根据几何关系有:
(2*R)^2= x1^2*(1/cos(A)^2-1)+(c-x1-y2)^2
={4*a^2*b^2*c^2}/(a^2+b^2+c^2)^2
即:R={abc}/(a^2+b^2+c^2)
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