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[讨论] 神秘的圆——三角形的“六接圆”

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发表于 2010-7-24 21:59:36 | 显示全部楼层 |阅读模式

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数联天地论坛中的watt5151朋友提出了这样的一个问题:
精华


如图,已知三角形ABC,如何做一个圆,它与三角形三边都相交,而且六个交点可以连成三条直径?

暂且可以称这个圆为三角形的“六接圆”吧?
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2010-7-25 00:05:18 | 显示全部楼层
很有趣很巧妙的问题。

能够独立提出这样的问题实在是太棒了。

这样的圆应该是可以固定的。

它有$3$个自由度:

坐标$x$、坐标$y$、半径$r$。

又恰好有$3$个维度的约束:

$6$个交点连成$3$条直径。

所以这样的圆是可以固定下来的。

很佩服那位朋友的构思。
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发表于 2010-7-25 02:36:12 | 显示全部楼层
位似作图法,倒也不难。
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发表于 2010-7-25 03:37:10 | 显示全部楼层
6点圆.JPG
作法:先作△ABC的一个旋转了90度的小相似形△123,它几乎内接于△ABC(两顶点落在△ABC的两边上),然后通过位似变换达到内接。具体作法如下。
1、在BC边上任取点1,作BC的垂线交AC于2,
2、过2作AC的垂线,过1作AB垂线,两垂线相交于3
3、连结直线C3,交AB于D
4、过D作AB的垂线交BC于E
5、过D作到AC的垂线段DF
6、D,E,F的外接圆

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gxqcn + 3 巧妙
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 楼主| 发表于 2010-7-25 08:55:07 | 显示全部楼层
这是我的作法:


1、选择三角形的一条边,作出它的中点;并且画出这条边上的高,作出高的中点;
2、作过这两个中点的直线(EF);
3、选择三角形的另一条边,重复1,2步骤(作HI);
4、找出1,2,3所作的两条直线的交点,这个交点就是圆心;
5、选择三角形其中一条边,作直线LM=2n,LM⊥BC交AC于点L,交BC于点M;
(注:第5步也可以改为“作直线LM=2n,LM⊥BC交AB于点L,交BC于点M”;)
6、以O为圆心,OM为半径画圆,这个圆就是所求圆。
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 楼主| 发表于 2010-7-25 08:57:45 | 显示全部楼层
很有趣很巧妙的问题。

能够独立提出这样的问题实在是太棒了。

这样的圆应该是可以固定的。

它有$3$个自由度:

坐标$x$、坐标$y$、半径$r$。

又恰好有$3$个维度的约束:

$6$个交点连成$3$条直径。
...
KeyTo9_Fans 发表于 2010-7-25 00:05

是的,对于锐角三角形来说,总是存在且唯一存在。但是对于钝角三角形来说,则未必了...(我是通过作图发现的,没有具体证明)
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 楼主| 发表于 2010-7-25 09:03:57 | 显示全部楼层
2021
作法:先作△ABC的一个旋转了90度的小相似形△123,它几乎内接于△ABC(两顶点落在△ABC的两边上),然后通过位似变换达到内接。具体作法如下。
1、在BC边上任取点1,作BC的垂线交AC于2,
2、过2作AC的垂线, ...
hujunhua 发表于 2010-7-25 03:37

我的方法比较规矩,从证明的角度,先确定圆心,再确定半径。
而版主的办法更胜巧妙呀!要多向版主学习

不过要是真的在图上画,不知道哪种方法的速度会快?
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发表于 2010-7-26 20:09:50 | 显示全部楼层
若已知锐角三角形的三边长为a,b,c,求满足题意的"六接圆"半径R?
截图1280147329.jpg
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发表于 2010-7-27 16:44:53 | 显示全部楼层
这个是 Cosine circle (2nd Lemoine circle).

半径是 ${abc}/{a^2+b^2+c^2}$, 圆心是类似重心 (symmedian).

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发表于 2010-7-27 20:46:30 | 显示全部楼层
按照8#图片的记号:
我们可以根据几何性质得到方程
      $ {x1}/cos(A) = b-z1$
            ${y1}/cos(B) = c-x1$
            ${z1}/cos(C) = a-y1$
            $x1*(c-y2) = x2*(b-z1)$
            $ y1*(a-z2) = y2*(c-x1)$
            $z1*(b-x2) = z2*(a-y1)$
解得:      $x1 = {cos(A)*(cos(C)*cos(B)*c+b-a*cos(C))}/(1+cos(B)*cos(A)*cos(C))$
               $x2 = -{cos(A)*(-c+cos(B)*a-cos(B)*b*cos(C))}/(1+cos(B)*cos(A)*cos(C))$               
               $y1 = {cos(B)*(c-b*cos(A)+cos(A)*a*cos(C))}/(1+cos(B)*cos(A)*cos(C))$
               $y2 = {cos(B)*(a+c*cos(A)*cos(C)-b*cos(C))}/(1+cos(B)*cos(A)*cos(C))$
               $ z1 = {cos(C)*(a+cos(B)*b*cos(A)-c*cos(B))}/(1+cos(B)*cos(A)*cos(C))$
               $z2 = {cos(C)*(-c*cos(A)+cos(A)*cos(B)*a+b)}/(1+cos(B)*cos(A)*cos(C))$
再利用余弦公式代入化简得:
                 $x1 = -{c*(-b^2-c^2+a^2)}/(a^2+b^2+c^2) $
                 $x2 = -{b*(-b^2-c^2+a^2)}/(a^2+b^2+c^2)$
                 $y1 = {a*(a^2+c^2-b^2)}/(a^2+b^2+c^2)$
                 $y2 = {c*(a^2+c^2-b^2)}/(a^2+b^2+c^2)$
                  $z1 = {b*(b^2+a^2-c^2)}/(a^2+b^2+c^2)$
                  $z2 = {a*(b^2+a^2-c^2)}/(a^2+b^2+c^2)$
根据几何关系有:
              $ (2*R)^2= x1^2*(1/cos(A)^2-1)+(c-x1-y2)^2$                              
                                         $={4*a^2*b^2*c^2}/(a^2+b^2+c^2)^2$
即:  $R={abc}/(a^2+b^2+c^2)$
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