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楼主: 282842712474

[讨论] 神秘的圆——三角形的“六接圆”

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发表于 2010-7-28 00:27:12 | 显示全部楼层
4#给出的是步骤上较懒的位似作法,但不是最能揭示相似变换的作图。下面才是(实际这么作图的话是有冗余步骤的)。

CosineCircle.JPG CosineCircle.GIF
      图1                               图2

图1所示为△ABC的“六接圆”(Cosine Circle), 易证六个接交点间隔取点构成的△ABC△ABC都是△ABC的相似形,并分别旋转了±90°,所以只要作出其中的一个,就可以作出“六接圆”。
图2,虽然△ABC内接垂直相似三角形△ABC不是显然可作的,但是其外接的垂直相似三角形△A'B'C'却是显然可作的,再迭代一次,作出△A'B'C'外接垂直相似三角形△A'B'C'(反转90°的),那么△ABC位似于△A'B'C',同时△ABC位似于△A'B'C',两者具有相同的位似中心,这就可以回头作出△ABC内接垂直相似△ABC

比起“六接圆”的半径,我更关心是△ABC与其内接垂直相似三角形△ABC相似比,我想应该也是一个漂亮的全对称分式,并且分子分母必是同次齐次式。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2010-7-28 15:28:48 | 显示全部楼层
相似比应该就是外接圆半径之比.
原三角形的外接圆半径是 $R={abc}/{4S}$ (正弦定理加三角形的面积公式), 所以 $abc$ 消去, 得到 ${4S}/{a^2+b^2+c^2}={\sqrt{(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)}}/{a^2+b^2+c^2}$
相比之下, 楼上的图更加漂亮

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