神秘的圆——三角形的“六接圆”

hujunhua

4#给出的是步骤上较懒的位似作法，但不是最能揭示相似变换的作图。下面才是（实际这么作图的话是有冗余步骤的）。

　　　　　　图1　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 图2

图1所示为△ABC的“六接圆”（Cosine Circle）, 易证六个接交点间隔取点构成的△ABC和△ABC都是△ABC的相似形，并分别旋转了±90°，所以只要作出其中的一个，就可以作出“六接圆”。 图2，虽然△ABC的内接垂直相似三角形△ABC不是显然可作的，但是其外接的垂直相似三角形△A'B'C'却是显然可作的，再迭代一次，作出△A'B'C'外接垂直相似三角形△A'B'C'(反转90°的)，那么△ABC位似于△A'B'C'，同时△ABC位似于△A'B'C'，两者具有相同的位似中心，这就可以回头作出△ABC的内接垂直相似△ABC。 比起“六接圆”的半径，我更关心是△ABC与其内接垂直相似三角形△ABC相似比，我想应该也是一个漂亮的全对称分式，并且分子分母必是同次齐次式。

wiley

相似比应该就是外接圆半径之比. 原三角形的外接圆半径是 $R={abc}/{4S}$ (正弦定理加三角形的面积公式), 所以 $abc$ 消去, 得到 ${4S}/{a^2+b^2+c^2}={\sqrt{(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)}}/{a^2+b^2+c^2}$ 相比之下, 楼上的图更加漂亮