northwolves 发表于 2010-7-30 18:02:22

三个素数

2,3,5是最小的三个素数,满足以下条件: 任意两个之积除于第三个,余1.
是否唯一解?

KeyTo9_Fans 发表于 2010-7-30 21:23:22

从概率上讲是不唯一的,有无限组这样的素数。

但这并不能说明问题。

因为可能会推出一些隐含的限制条件,使得这个问题不满足统计规律。

我让$1$个条件成立,找了$100$以内的二十几组素数来算,结果另外$2$个条件从来都没有同时成立过。

你验证到多大范围了?

如果这个问题不满足统计规律,又在小范围内无解,那么就可以得出$2$,$3$,$5$是唯一解的概率接近$1$的结论。

northwolves 发表于 2010-7-30 23:48:39

a<b<c<10000内就这一组解

northwolves 发表于 2010-7-30 23:49:28

不知有什么理论可以证明没有2,3,5以外的解?

056254628 发表于 2010-7-30 23:50:34

搜索了30013 以内的所有素数,满足 任意两个之积除于第三个的余数(不限于1)都相等 的,只有
2,3,5一组。

hujunhua 发表于 2010-7-31 04:45:34

这里素数的要求有点超,按照中国剩余定理的要求,只需要三个模两两互素就行了。所以可以选按两两互素来解,先搜索一下吧。

mathe 发表于 2010-7-31 10:01:16

解唯一,不用搜索了

northwolves 发表于 2010-7-31 10:59:53

解唯一,不用搜索了
mathe 发表于 2010-7-31 10:01 http://bbs.emath.ac.cn/images/common/back.gif
mathe怎么证明?应该有个巧妙的证明。

mathe 发表于 2010-7-31 12:17:00

证明是挺简洁的。
把1当作 `x`, 若`a,b,c`两两互素,由中国剩余定理立得
`1≡ab+bc+ca\pmod{abc}`
即`abc|ab+bc+ca-1`
只要`a,b,c`中最多一个是1,左边次数就不低于右边,那就只有少量、较小的有限个解。

056254628 发表于 2010-7-31 20:49:05

可设 ab+bc+ac-1=kabc,并且1<a<b<c.
那么kabc =ab+bc+ac-1<3bc
所以 k=1, a=2
返回代入得 bc=2b+2c-1→(b-2)(c-2)=3
所以b=3, c=5
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