三个素数

northwolves · 发表于 2010-7-30 18:02:22

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2，3，5是最小的三个素数，满足以下条件：任意两个之积除于第三个，余1.
是否唯一解？

KeyTo9_Fans · 发表于 2010-7-30 21:23:22

从概率上讲是不唯一的，有无限组这样的素数。

但这并不能说明问题。

因为可能会推出一些隐含的限制条件，使得这个问题不满足统计规律。

我让$1$个条件成立，找了$100$以内的二十几组素数来算，结果另外$2$个条件从来都没有同时成立过。

你验证到多大范围了？

如果这个问题不满足统计规律，又在小范围内无解，那么就可以得出$2$,$3$,$5$是唯一解的概率接近$1$的结论。

northwolves · 发表于 2010-7-30 23:48:39

a<b<c<10000内就这一组解

northwolves · 发表于 2010-7-30 23:49:28

不知有什么理论可以证明没有2，3，5以外的解？

056254628 · 发表于 2010-7-30 23:50:34

搜索了30013 以内的所有素数，满足任意两个之积除于第三个的余数（不限于1）都相等的，只有
2，3，5 一组。

hujunhua · 发表于 2010-7-31 04:45:34

这里素数的要求有点超，按照中国剩余定理的要求，只需要三个模两两互素就行了。所以可以选按两两互素来解，先搜索一下吧。

mathe · 发表于 2010-7-31 10:01:16

解唯一，不用搜索了

northwolves · 发表于 2010-7-31 10:59:53

解唯一，不用搜索了
mathe 发表于 2010-7-31 10:01

mathe怎么证明？应该有个巧妙的证明。

mathe · 发表于 2010-7-31 12:17:00

证明是挺简洁的。
把1当作 `x`, 若`a,b,c`两两互素，由中国剩余定理立得
`1≡ab+bc+ca\pmod{abc}`
即`abc|ab+bc+ca-1`
只要`a,b,c`中最多一个是1，左边次数就不低于右边，那就只有少量、较小的有限个解。

056254628 · 发表于 2010-7-31 20:49:05

可设 ab+bc+ac-1=kabc，并且1<a<b<c.
那么kabc =ab+bc+ac-1<3bc
所以 k=1, a=2
返回代入得 bc=2b+2c-1→(b-2)(c-2)=3
所以b=3, c=5

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[讨论] 三个素数

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