wayne 发表于 2010-9-6 09:49:25

求一组互质的整数解

求该方程的一个B大于100的正整数解。

A^3/B^3 +C^3/D^3=6


==================================
注：要求是A、B、C、D互质的一组解

wayne 发表于 2010-9-6 22:14:51

3# 056254628
:dizzy:
是互质解

geslon 发表于 2010-9-7 00:20:41

两两互质吗？

geslon 发表于 2010-9-7 00:32:31

不可能两两互质啊。
而且，若AB互质，CD互质，则必有B=D。
因为：
A^3/B^3+C^3/D^3=6
=>
A^3+B^3*C^3/D^3=6B^3
要使B^3*C^3/D^3为整数，必须D|B
同理
B|D
则B=D

也不知我理解的对不对。

gxqcn 发表于 2010-9-7 07:48:25

不知是否可理解为：A、B、C、D 的最大公约数=1？
即：要求 Gcd(A, B, C, D)=1

gxqcn 发表于 2010-9-7 08:54:18

http://www.physicsforums.com/archive/index.php/t-8495.html
上面链接中找出了B
mathe 发表于 2010-9-6 17:21 http://bbs.emath.ac.cn/images/common/back.gif

链接里面有两组等式可供参考：
51^3+111^3=6*63^3

67881^3+147741^3=6*(7623*11)^3

wayne 发表于 2010-9-7 12:05:59

6# gxqcn
昨天看了mathe的链接，一时没理解过来，现在才意识到原来是和
a^3+b^3 =c* d^3 是等价的

wayne 发表于 2010-9-7 12:09:27

这个问题俗称：450 Pound Problem

http://www.mathpages.com/home/kmath164.htm

wayne 发表于 2010-9-7 12:19:08

6# gxqcn
你给的这两个好像都不对，GCD 一个是3 ，一个是3993，其实就是

17^3+37^3= 6* 21^3

wayne 发表于 2010-9-7 12:21:15

在(17,37,21) 之后，最小的解是

A = 1498088000358117387964077872464225368637808093957571271237
C = 1659187585671832817045260251600163696204266708036135112763
　B,D = 1097408669115641639274297227729214734500292503382977739220

没想到这个解会是那么的大，所以与大家分享。
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