求一组互质的整数解

wayne

求该方程的一个B大于100的正整数解。 $A^3/B^3 +C^3/D^3=6$ ================================== 注：要求是A、B、C、D互质的一组解

wayne

3# 056254628 是互质解

geslon

两两互质吗？

geslon

不可能两两互质啊。 而且，若AB互质，CD互质，则必有B=D。 因为： A^3/B^3+C^3/D^3=6 => A^3+B^3*C^3/D^3=6B^3 要使B^3*C^3/D^3为整数，必须D|B 同理 B|D 则B=D 也不知我理解的对不对。

gxqcn

不知是否可理解为：A、B、C、D 的最大公约数=1？ 即：要求 Gcd(A, B, C, D)=1

gxqcn

http://www.physicsforums.com/archive/index.php/t-8495.html 上面链接中找出了B mathe 发表于 2010-9-6 17:21

链接里面有两组等式可供参考：

$51^3+111^3=6*63^3$ $67881^3+147741^3=6*(7623*11)^3$

wayne

6# gxqcn 昨天看了mathe的链接，一时没理解过来，现在才意识到原来是和 a^3+b^3 =c* d^3 是等价的

wayne

这个问题俗称：450 Pound Problem http://www.mathpages.com/home/kmath164.htm

wayne

6# gxqcn 你给的这两个好像都不对，GCD 一个是3 ，一个是3993，其实就是 17^3+37^3= 6* 21^3

wayne

在(17,37,21) 之后，最小的解是 　　A = 1498088000358117387964077872464225368637808093957571271237 　　C = 1659187585671832817045260251600163696204266708036135112763 　B,D = 1097408669115641639274297227729214734500292503382977739220 没想到这个解会是那么的大，所以与大家分享。