四连通与八连通的较量(2)
KeyTo9_Fans又在和KeyTo9一起玩游戏了。这次他们仍在进行一个关于四连通与八连通的大比拼。
游戏在一个$N*N$的棋盘中进行。
每一步轮到谁下是随机决定的。
轮到某一方下子的概率为$p$，另一方为$(1-p)$。
双方的胜利条件都是将棋盘的对边用自己的棋子连起来。
其中一方连接上下两条边，棋子是四连通的。
另一方连接左右两条边，棋子是八连通的。
如果觉得以上规则描述得不够清楚，可以在这里阅读具体细节：
http://tieba.baidu.com/f?kz=643280306
然而，KeyTo9_Fans和KeyTo9都是大笨蛋。
他们都只会随机落子。
假设当前棋盘有$k$个空格子，那么每个格子被选来落子的概率均为$1/k$。
我们想知道要使得他们各有$50%$的概率获胜，$p$值应该调整为多少。
对于不同规模的$N$，$p$的值是不同的。
例如：
当$N=1$时，$p$取$0.5$。
当$N=2$时，$p$取$\sqrt{1-\sqrt{0.5}}$。
但对于更大的$N$，如何求对应的$p$值？
另外，当$n$→∞时，$p$的极限是多少？ 这个估计Fans能够计算到N=10左右 现在还不急着计算。
我希望将楼主的问题与下面的问题等价起来。
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KeyTo9_Fans设计了一枚神奇的硬币。
这枚硬币有$p$的概率抛到正面朝上。
有$(1-p)$的概率抛到反面朝上。
他很喜欢玩这枚硬币。
他每次都将这枚硬币连抛$N^2$次，
然后把结果记录下来，排成一个$N*N$的正方形。
例如：$N=3$，结果为：
正反反
正正正
反反正
随着时间的推移，他发现一个有趣的现象：
“正”字以四连通的方式连接正方形上下两边的概率是$0.5$。
问：$p$的值是多少？
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猜想：
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对于所有的$N$，上述问题的答案与楼主问题的答案是相同的。
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该猜想是否成立？如何证明？
如果这两个问题能等价起来，我们再考虑计算的问题。 等价。虽然题目可以提前结束（也就是没有扔完$N^2$个就可以结束），我们总可以扔完$N^2$个硬币。
此外，虽然所下格子每次可以自由选择，但是不同的格子之间的选择都是独立的，任意交换格子的选择顺序都是一样的。所以我们总可以假设第一步选第一格，第二步选第二格，。。。对最终概率是没有影响的
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