四连通与八连通的较量(2)

KeyTo9_Fans

KeyTo9_Fans又在和KeyTo9一起玩游戏了。

这次他们仍在进行一个关于四连通与八连通的大比拼。

游戏在一个$N*N$的棋盘中进行。

每一步轮到谁下是随机决定的。

轮到某一方下子的概率为$p$，另一方为$(1-p)$。

双方的胜利条件都是将棋盘的对边用自己的棋子连起来。

其中一方连接上下两条边，棋子是四连通的。

另一方连接左右两条边，棋子是八连通的。

如果觉得以上规则描述得不够清楚，可以在这里阅读具体细节：

http://tieba.baidu.com/f?kz=643280306

然而，KeyTo9_Fans和KeyTo9都是大笨蛋。

他们都只会随机落子。

假设当前棋盘有$k$个空格子，那么每个格子被选来落子的概率均为$1/k$。

我们想知道要使得他们各有$50%$的概率获胜，$p$值应该调整为多少。

对于不同规模的$N$，$p$的值是不同的。

例如：

当$N=1$时，$p$取$0.5$。

当$N=2$时，$p$取$\sqrt{1-\sqrt{0.5}}$。

但对于更大的$N$，如何求对应的$p$值？

另外，当$n$→∞时，$p$的极限是多少？

mathe

这个估计Fans能够计算到N=10左右

KeyTo9_Fans

现在还不急着计算。

我希望将楼主的问题与下面的问题等价起来。

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KeyTo9_Fans设计了一枚神奇的硬币。

这枚硬币有$p$的概率抛到正面朝上。

有$(1-p)$的概率抛到反面朝上。

他很喜欢玩这枚硬币。

他每次都将这枚硬币连抛$N^2$次，

然后把结果记录下来，排成一个$N*N$的正方形。

例如：$N=3$，结果为：

正反反
正正正
反反正

随着时间的推移，他发现一个有趣的现象：

“正”字以四连通的方式连接正方形上下两边的概率是$0.5$。

问：$p$的值是多少？
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猜想：

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对于所有的$N$，上述问题的答案与楼主问题的答案是相同的。
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该猜想是否成立？如何证明？

如果这两个问题能等价起来，我们再考虑计算的问题。

mathe

等价。虽然题目可以提前结束（也就是没有扔完$N^2$个就可以结束），我们总可以扔完$N^2$个硬币。
此外，虽然所下格子每次可以自由选择，但是不同的格子之间的选择都是独立的，任意交换格子的选择顺序都是一样的。所以我们总可以假设第一步选第一格，第二步选第二格，。。。对最终概率是没有影响的