火车站的最佳位置
有一个正方形的城市，地面完全平坦。有无数个居民均匀分布在正方形的内部。
本来该城市是完全与外界隔绝的。
现在该城市准备通火车与外界联系了。
现在请你在正方形内部设立$3$个火车站。
火车站可以看成一个点。
要求居民到最近的火车站的平均距离最短。
有趣有深度探讨的问题问这$3$个火车站应设立在何处？
问题扩展：
如果是$N$个火车站，这$N$个火车站的排列是否有规律？ :L又是正方形城市！ 考虑到个人喜好不同，
有的人喜欢正方形，有的人喜欢圆形，有的人喜欢正三角形，有的人喜欢正六边形，
这里就不限制城市的形状了。
大家可以根据自己的喜好选择一种形状来研究。
Fans主要负责研究正方形。
如果有人将其他图形的结果也做出来了，Fans将不胜感激。 先问一个具体点的问题，如果城市是一个边长为1的正方形，只有一个火车站并且位于正方形的一角上，那么能算出城市各点到火车站的平均距离么？它的精确值是多少呢？
PS：解题之前，先猜猜看结果都会带着什么符号哟。 结果里有Pi。:lol 本帖最后由 KeyTo9_Fans 于 2010-11-1 15:44 编辑
假设楼主的问题的答案是$D(N)$，那么$4$楼问题的答案的精确值是$2$倍的$D(1)$。
因为当$N=1$时，楼主问题的答案是正方形中心。
我们不妨把该正方形横切一刀，竖切一刀，平均分成$4$块。
于是每一块的情况与$4$楼问题相同，只是该正方形的边长为$0.5$。
所以$4$楼问题的答案的精确值是$2D(1)$。
剩下的问题没有改变：
依然是给定$N$，求楼主的问题的答案是多少。
#####
$4$楼的问题等价于求：
$\int_0^1\int_0^1 sqrt(x^2+y^2)dxdy$
结果是
$1/3*(sqrt(2)+ln(1+sqrt(2)))$
约等于
$0.7651957164642126913447660163965$
#####
对于楼主的问题，$D(1)=1/6*(sqrt(2)+ln(1+sqrt(2)))=0.382597858232$ 5# 风云剑
呵呵，算一下试试呢…… 我一开始也以为带Pi的，但是答案却相当于带E，所以发了个帖子，呵呵。 本帖最后由 风云剑 于 2010-11-1 15:47 编辑
呵呵，那是瞎猜的。刚才那电脑模拟了一下，0.765172
不过两个车站就不知道如何布局了。:( 我也模拟了一下。
代码如下：#include<cstdio>
#include<cmath>
double x,y,s;
int main()
{
s=0;
for(x=5e-5;x<1;x+=1e-4)
for(y=5e-5;y<1;y+=1e-4)
s+=sqrt(x*x+y*y);
printf("%.12lf\n",s/1e8);
return 0;
}输出如下：
0.765195715729
与真实值相差$7e-10$