我一开始也以为带Pi的，但是答案却相当于带E，所以发了个帖子，呵呵。
zgg___ 发表于 2010-11-1 15:44 http://bbs.emath.ac.cn/images/common/back.gif
是啊，很有趣的结果。
话说这个均匀分布让我想错方向了。
如此要是圆形城市就更不好计算了吧？
如果是圆形城市，半径为$1$。
那么当$N=1$时，最佳位置是圆心。
记答案是$C(N)$。
则$C(1)=2/3$。
猜想：当$N=1$时，答案是图形的重心。
如果是圆形城市，半径为$1$。
那么当$N=1$时，最佳位置是圆心。
记答案是$C(N)$。
则$C(1)=2/3$。
猜想：当$N=1$时，答案是图形的重心。
KeyTo9_Fans 发表于 2010-11-1 16:02 http://bbs.emath.ac.cn/images/common/back.gif
这个猜想不大对呢。呵呵。
貌似当距离平方和最小时，才在重心呢。
猜错了吗？
那太好了。
Fans发现了图形的另一个心。
如果没有文献明确指出这个心的名称，
Fans就暂时将这个心命名为$Fans$心。
#####
对于对称的图形，例如：
正方形，长方形，平行四边形，正三角形，正五边形，五角星，正六边形，六芒星，正七边形，正八边形，正九边形，……，正十七边形，……，圆形
这些图形的$Fans$心就位于图形的重心。
对于不规则的图形，$Fans$心与图形的重心都多大差距呢？
Fans将继续探究，请大家静候佳音。
如果大家已经知道结果并告知Fans，Fans将不胜感激。
距离平方和最小的点就是重心
原来本题中要求的距离绝对值之和最小的点，的确不是重心
谢谢mathe。
mathe就像我们的导师，在我们需要的时候出现。
虽然话语不多，但句句是真理。
这两句话为Fans指明了前进的方向。
Fans现在可以继续前进，往$N=2$的方向努力了。
如果方向错了，希望mathe老师及时指正。
把1*1的正方形平分成两半，每一半都是一个1*0.5的长方形，那么2个火车站的最优设置是，分别设在两个长方形的中心。
最小平均距离为0.296616708034475
精确值= $ (ln(99.5 + 44.5 * sqrt(5))) / 48 + sqrt(5) / 12$
楼上的反应速度太快了，抢先完成了我要做的工作。
我还有疑问：
如果将正方形分成两个$45$度的等腰三角形，然后把车站设在两个等腰三角形的$Fans$心上，那么答案是多少？
这个方案是不是没有楼上的方案好？
#####
更一般的想法：
将正方形分成两个直角梯形，分别找这两个直角梯形的$Fans$心。
那么是否当这两个直角梯形退化成矩形时，答案最优？
如果两个火车站设成关于对角线对称，那么最优的设置是：两个火车站设在对角线的3分点上。
最小距离=0.30144144338505