火车站的最佳位置

风云剑

我一开始也以为带Pi的，但是答案却相当于带E，所以发了个帖子，呵呵。 zgg___ 发表于 2010-11-1 15:44

是啊，很有趣的结果。 话说这个均匀分布让我想错方向了。 如此要是圆形城市就更不好计算了吧？

KeyTo9_Fans

如果是圆形城市，半径为$1$。 那么当$N=1$时，最佳位置是圆心。 记答案是$C(N)$。 则$C(1)=2/3$。 猜想：当$N=1$时，答案是图形的重心。

zgg___

如果是圆形城市，半径为$1$。 那么当$N=1$时，最佳位置是圆心。 记答案是$C(N)$。 则$C(1)=2/3$。 猜想：当$N=1$时，答案是图形的重心。 KeyTo9_Fans 发表于 2010-11-1 16:02

这个猜想不大对呢。呵呵。 貌似当距离平方和最小时，才在重心呢。

KeyTo9_Fans

猜错了吗？ 那太好了。 Fans发现了图形的另一个心。 如果没有文献明确指出这个心的名称， Fans就暂时将这个心命名为$Fans$心。 ##### 对于对称的图形，例如： 正方形，长方形，平行四边形，正三角形，正五边形，五角星，正六边形，六芒星，正七边形，正八边形，正九边形，……，正十七边形，……，圆形 这些图形的$Fans$心就位于图形的重心。 对于不规则的图形，$Fans$心与图形的重心都多大差距呢？ Fans将继续探究，请大家静候佳音。 如果大家已经知道结果并告知Fans，Fans将不胜感激。

mathe

距离平方和最小的点就是重心

mathe

原来本题中要求的距离绝对值之和最小的点，的确不是重心

KeyTo9_Fans

谢谢mathe。 mathe就像我们的导师，在我们需要的时候出现。 虽然话语不多，但句句是真理。 这两句话为Fans指明了前进的方向。 Fans现在可以继续前进，往$N=2$的方向努力了。 如果方向错了，希望mathe老师及时指正。

056254628

把1*1的正方形平分成两半，每一半都是一个1*0.5的长方形，那么2个火车站的最优设置是，分别设在两个长方形的中心。 最小平均距离为0.296616708034475 精确值= $ (ln(99.5 + 44.5 * sqrt(5))) / 48 + sqrt(5) / 12$

KeyTo9_Fans

楼上的反应速度太快了，抢先完成了我要做的工作。 我还有疑问： 如果将正方形分成两个$45$度的等腰三角形，然后把车站设在两个等腰三角形的$Fans$心上，那么答案是多少？ 这个方案是不是没有楼上的方案好？ ##### 更一般的想法： 将正方形分成两个直角梯形，分别找这两个直角梯形的$Fans$心。 那么是否当这两个直角梯形退化成矩形时，答案最优？

056254628

如果两个火车站设成关于对角线对称，那么最优的设置是：两个火车站设在对角线的3分点上。 最小距离=0.30144144338505