通过前$10$楼的讨论，此问题目前有$2$个版本。
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版本$1$：市内出行
起点和终点都是正方形内随机的点，出行可以选择
$1$、全程步行
$2$、先步行到离起点最近的地铁站，乘车到离目的地最近的地铁站，下车后步行到目的地
取步行路程较小的方案。
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版本$2$：市外出行
终点（火车站）在轨道上，起点是正方形内随机的点。
只要步行到最近的地铁站即可乘地铁到火车站，然后坐火车到市外目的地。
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无论是哪个版本，都是求最佳的轨道交通线路，使得居民出行的步行路程的期望值最小。
对于版本$1$，$8$楼已经给出了总是全程步行的步行路程期望值，为$0.5214...$。
如果铺设了轨道交通，步行路程的期望值必须比这个值小。
感觉这个问题很有趣且很有实用价值，故加精。
曾有一个问题：如何布线，使若干点联网，线路总距离最短。
其解可以节约大量社会资源。
而楼主这个问题正好可与其补充，尤其是将轨道换成雨棚后，
研究对象从固定的若干点转变成整个面，
并且关心的是“不方便”人群的整体代价最小的问题。
$12$种候选方案新鲜出炉！
接下来会对这$12$种候选方案进行随机抽样测试……
抽样测试$3*10^8$个 (起点,终点) 对，得到市内和市外出行的平均步行距离。
将平均步行距离按照从小到大排序，结果如下：
名次 编号 市内出行 市外出行
110.3397230.191972
100.3421440.194421
80.3443510.194761
40.3472630.196994
120.3512450.202264
50.3571280.206423
30.3663610.210428
90.3765950.221014
60.3789250.223311
70.3791560.225300
20.3956830.239380
10.4138700.249987从上表可以看到，$11$号方案最好，第$2$、$3$、$4$名分别是$10$号、$8$号和$4$号方案，而$1$号方案是最差的。
对$11$号方案重新选择$4$种中轴长度（$0.2$、$0.22$、$0.24$、$0.26$），
和$4$种分叉角度（$126.9$度、$123.3$度、$119.8$度、$116.4$度），
组合出$4\times 4=16$种方案，如下图所示：
然后抽样测试$2*10^8$个 (起点,终点)对，得到市内出行的平均步行距离如下：
中轴长0.2中轴长0.22 中轴长0.24 中轴长0.26
分叉126.9度0.3402630.3395330.3390980.338947
分叉123.3度0.3396130.3390910.3388510.338880
分叉119.8度0.3392060.3388770.3388140.339007
分叉116.4度0.3390230.3388700.3389700.339313
市外出行的平均步行距离如下：
中轴长0.2中轴长0.22 中轴长0.24 中轴长0.26
分叉126.9度0.1919750.1915120.1912890.191296
分叉123.3度0.1915560.1912580.1911870.191336
分叉119.8度0.1913180.1911710.1912410.191519
分叉116.4度0.1912470.1912380.1914360.191830
根据上述结果，在图中用红字标出了最佳中轴长度及分叉角度。
测试结果表明，无论是室内出行还是室外出行，最佳的分叉角度都是$119.8$度。
接下来该验证最佳的分叉角度是不是恰好$120$度啦～
本帖最后由 KeyTo9_Fans 于 2012-10-21 12:48 编辑
抽样测试$10^9$个 (起点,终点)对，
得$11$号方案市内出行的
最佳分叉角度是$120.53\pm 0.04$度，
最佳中轴长度是$0.2376\pm 0.0001$，
平均步行距离是$0.33881\pm 0.00001$。
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抽样测试$10^11$个 (起点,终点)对，
得$11$号方案市内出行的
最佳分叉角度是$120.532\pm 0.004$度，
最佳中轴长度是$0.23763\pm 0.00001$，
平均步行距离是$0.338813\pm 0.000001$。
对$11$号方案的分叉路进行弯折，如下图所示：
可以进一步缩短市内出行的平均步行距离。
抽样测试$10^11$个 (起点,终点)对，得到各个参数的取值如下：
平均步行距离：$0.338807\pm 0.000001$
$L_1=0.23840\pm 0.00005$
$L_2=0.1614\pm 0.0003$
$L_3=0.0290\pm 0.0003$
$a_1=(120.14\pm 0.01)^circ$
$a_2=(177.68\pm 0.02)^circ$
会不会继续出现弯折？最终演化成一段特殊曲线？
如题，在正方形里面，均匀分布的小点之间的距离的平均值是一个四重积分。好像最高只学过三重积分，压力好大。大学白读。
KeyTo9_Fans 发表于 2010-11-13 16:35
计算任意起点到任意终点的平均距离是一件很麻烦的事情。
当轨道长度为$0$的时候，任意起点到任意终点的 ...
正方形 内任意两点距离的期望值 就是一个涉及四个被积变量的积分吧。
Fans这么算 好诡异啊
哇.用Mathematica算出来的结果跟8# Fans的完全一样. $\int _0^1\int _0^1\int _0^1\int _0^1\sqrt{(x1-x2)^2+(y1-y2)^2}dy2 dx2 dy1 dx1 $
$=\frac{1}{15} (\sqrt{2}+2+5 \sinh ^{-1}(1))$