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楼主: KeyTo9_Fans

[原创] 最优美的轨道

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 楼主| 发表于 2012-9-27 09:29:29 | 显示全部楼层
通过前$10$楼的讨论,此问题目前有$2$个版本。

——————————
版本$1$:市内出行

起点和终点都是正方形内随机的点,出行可以选择

$1$、全程步行

$2$、先步行到离起点最近的地铁站,乘车到离目的地最近的地铁站,下车后步行到目的地

取步行路程较小的方案。

==============

版本$2$:市外出行

终点(火车站)在轨道上,起点是正方形内随机的点。

只要步行到最近的地铁站即可乘地铁到火车站,然后坐火车到市外目的地。

——————————

无论是哪个版本,都是求最佳的轨道交通线路,使得居民出行的步行路程的期望值最小。

对于版本$1$,$8$楼已经给出了总是全程步行的步行路程期望值,为$0.5214...$。

如果铺设了轨道交通,步行路程的期望值必须比这个值小。
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发表于 2012-9-27 09:45:35 | 显示全部楼层
感觉这个问题很有趣且很有实用价值,故加精。

曾有一个问题:如何布线,使若干点联网,线路总距离最短。
其解可以节约大量社会资源。

而楼主这个问题正好可与其补充,尤其是将轨道换成雨棚后,
研究对象从固定的若干点转变成整个面,
并且关心的是“不方便”人群的整体代价最小的问题。
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 楼主| 发表于 2012-9-27 10:42:14 | 显示全部楼层
$12$种候选方案新鲜出炉!

subway.PNG

接下来会对这$12$种候选方案进行随机抽样测试……

抽样测试$3*10^8$个 (起点,终点) 对,得到市内和市外出行的平均步行距离。

将平均步行距离按照从小到大排序,结果如下:

 名次 编号 市内出行 市外出行

  1.   11  0.339723  0.191972
  2.   10  0.342144  0.194421
  3.    8  0.344351  0.194761
  4.    4  0.347263  0.196994
  5.   12  0.351245  0.202264
  6.    5  0.357128  0.206423
  7.    3  0.366361  0.210428
  8.    9  0.376595  0.221014
  9.    6  0.378925  0.223311
  10.    7  0.379156  0.225300
  11.    2  0.395683  0.239380
  12.    1  0.413870  0.249987
复制代码
从上表可以看到,$11$号方案最好,第$2$、$3$、$4$名分别是$10$号、$8$号和$4$号方案,而$1$号方案是最差的。
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 楼主| 发表于 2012-9-27 17:15:04 | 显示全部楼层
对$11$号方案重新选择$4$种中轴长度($0.2$、$0.22$、$0.24$、$0.26$),

和$4$种分叉角度($126.9$度、$123.3$度、$119.8$度、$116.4$度),

组合出$4\times 4=16$种方案,如下图所示:

subway.PNG

然后抽样测试$2*10^8$个 (起点,终点)  对,得到市内出行的平均步行距离如下:

  1.             中轴长0.2  中轴长0.22 中轴长0.24 中轴长0.26
  2. 分叉126.9度  0.340263  0.339533  0.339098  0.338947
  3. 分叉123.3度  0.339613  0.339091  0.338851  0.338880
  4. 分叉119.8度  0.339206  0.338877  0.338814  0.339007
  5. 分叉116.4度  0.339023  0.338870  0.338970  0.339313
复制代码
市外出行的平均步行距离如下:

  1.             中轴长0.2  中轴长0.22 中轴长0.24 中轴长0.26
  2. 分叉126.9度  0.191975  0.191512  0.191289  0.191296
  3. 分叉123.3度  0.191556  0.191258  0.191187  0.191336
  4. 分叉119.8度  0.191318  0.191171  0.191241  0.191519
  5. 分叉116.4度  0.191247  0.191238  0.191436  0.191830
复制代码
根据上述结果,在图中用红字标出了最佳中轴长度及分叉角度。

测试结果表明,无论是室内出行还是室外出行,最佳的分叉角度都是$119.8$度。

接下来该验证最佳的分叉角度是不是恰好$120$度啦~
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 楼主| 发表于 2012-10-6 18:36:25 | 显示全部楼层
本帖最后由 KeyTo9_Fans 于 2012-10-21 12:48 编辑

抽样测试$10^9$个 (起点,终点)  对,

得$11$号方案市内出行的

最佳分叉角度是$120.53\pm 0.04$度,

最佳中轴长度是$0.2376\pm 0.0001$,

平均步行距离是$0.33881\pm 0.00001$。

#####

抽样测试$10^11$个 (起点,终点)  对,

得$11$号方案市内出行的

最佳分叉角度是$120.532\pm 0.004$度,

最佳中轴长度是$0.23763\pm 0.00001$,

平均步行距离是$0.338813\pm 0.000001$。
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 楼主| 发表于 2012-10-20 20:38:41 | 显示全部楼层
对$11$号方案的分叉路进行弯折,如下图所示:

subway_9s.png

可以进一步缩短市内出行的平均步行距离。

抽样测试$10^11$个 (起点,终点)  对,得到各个参数的取值如下:

平均步行距离:$0.338807\pm 0.000001$

$L_1=0.23840\pm 0.00005$

$L_2=0.1614\pm 0.0003$

$L_3=0.0290\pm 0.0003$

$a_1=(120.14\pm 0.01)^circ$

$a_2=(177.68\pm 0.02)^circ$
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发表于 2012-10-22 11:25:07 | 显示全部楼层
会不会继续出现弯折?最终演化成一段特殊曲线?

点评

因为多值性的原因,应该不会出现连续的曲线形式。最终最好的长度比+角度配置的方案应该是存在的,可能不止一种。  发表于 2013-12-16 20:26

评分

参与人数 2金币 +2 经验 +2 收起 理由
hujunhua + 2 算不出来的,用变分法解
KeyTo9_Fans + 2 会的,只是需要更长时间计算,请静候佳音~

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发表于 2012-10-23 18:11:05 | 显示全部楼层
如题,在正方形里面,均匀分布的小点之间的距离的平均值是一个四重积分。好像最高只学过三重积分,压力好大。大学白读。
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发表于 2013-12-16 15:04:59 | 显示全部楼层
KeyTo9_Fans 发表于 2010-11-13 16:35
计算任意起点到任意终点的平均距离是一件很麻烦的事情。

当轨道长度为$0$的时候,任意起点到任意终点的 ...

正方形 内任意两点距离的期望值 就是一个涉及四个被积变量的积分吧。
Fans这么算 好诡异啊

点评

嗯,现在我还没算出来。等我有条件了再核实一下答案  发表于 2013-12-16 17:00
计算过程等价于四重积分,只不过交换了积分次序。  发表于 2013-12-16 16:50
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发表于 2013-12-16 22:08:59 | 显示全部楼层
哇.用Mathematica算出来的结果跟8# Fans的完全一样. $\int _0^1\int _0^1\int _0^1\int _0^1\sqrt{(x1-x2)^2+(y1-y2)^2}dy2 dx2 dy1 dx1 $
$=\frac{1}{15} (\sqrt{2}+2+5 \sinh ^{-1}(1))$
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