最优美的轨道

KeyTo9_Fans

通过前$10$楼的讨论，此问题目前有$2$个版本。

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版本$1$：市内出行

起点和终点都是正方形内随机的点，出行可以选择

$1$、全程步行

$2$、先步行到离起点最近的地铁站，乘车到离目的地最近的地铁站，下车后步行到目的地

取步行路程较小的方案。

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版本$2$：市外出行

终点（火车站）在轨道上，起点是正方形内随机的点。

只要步行到最近的地铁站即可乘地铁到火车站，然后坐火车到市外目的地。

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无论是哪个版本，都是求最佳的轨道交通线路，使得居民出行的步行路程的期望值最小。

对于版本$1$，$8$楼已经给出了总是全程步行的步行路程期望值，为$0.5214...$。

如果铺设了轨道交通，步行路程的期望值必须比这个值小。

gxqcn

感觉这个问题很有趣且很有实用价值，故加精。

曾有一个问题：如何布线，使若干点联网，线路总距离最短。
其解可以节约大量社会资源。

而楼主这个问题正好可与其补充，尤其是将轨道换成雨棚后，
研究对象从固定的若干点转变成整个面，
并且关心的是“不方便”人群的整体代价最小的问题。

KeyTo9_Fans

$12$种候选方案新鲜出炉！



接下来会对这$12$种候选方案进行随机抽样测试……

抽样测试$3*10^8$个 (起点,终点) 对，得到市内和市外出行的平均步行距离。

将平均步行距离按照从小到大排序，结果如下：

　名次　编号　市内出行　市外出行

1. 
   
2.   11  0.339723  0.191972
   
3.   10  0.342144  0.194421
   
4.    8  0.344351  0.194761
   
5.    4  0.347263  0.196994
   
6.   12  0.351245  0.202264
   
7.    5  0.357128  0.206423
   
8.    3  0.366361  0.210428
   
9.    9  0.376595  0.221014
   
10.    6  0.378925  0.223311
    
11.    7  0.379156  0.225300
    
12.    2  0.395683  0.239380
    
13.    1  0.413870  0.249987

复制代码

从上表可以看到，$11$号方案最好，第$2$、$3$、$4$名分别是$10$号、$8$号和$4$号方案，而$1$号方案是最差的。

KeyTo9_Fans

对$11$号方案重新选择$4$种中轴长度（$0.2$、$0.22$、$0.24$、$0.26$），

和$4$种分叉角度（$126.9$度、$123.3$度、$119.8$度、$116.4$度），

组合出$4\times 4=16$种方案，如下图所示：



然后抽样测试$2*10^8$个 (起点,终点)  对，得到市内出行的平均步行距离如下：

1. 
   
2.             中轴长0.2  中轴长0.22 中轴长0.24 中轴长0.26
   
3. 分叉126.9度  0.340263  0.339533  0.339098  0.338947
   
4. 分叉123.3度  0.339613  0.339091  0.338851  0.338880
   
5. 分叉119.8度  0.339206  0.338877  0.338814  0.339007
   
6. 分叉116.4度  0.339023  0.338870  0.338970  0.339313
   

复制代码

市外出行的平均步行距离如下：

1. 
   
2.             中轴长0.2  中轴长0.22 中轴长0.24 中轴长0.26
   
3. 分叉126.9度  0.191975  0.191512  0.191289  0.191296
   
4. 分叉123.3度  0.191556  0.191258  0.191187  0.191336
   
5. 分叉119.8度  0.191318  0.191171  0.191241  0.191519
   
6. 分叉116.4度  0.191247  0.191238  0.191436  0.191830
   

复制代码

根据上述结果，在图中用红字标出了最佳中轴长度及分叉角度。

测试结果表明，无论是室内出行还是室外出行，最佳的分叉角度都是$119.8$度。

接下来该验证最佳的分叉角度是不是恰好$120$度啦～

KeyTo9_Fans

抽样测试$10^9$个 (起点,终点)  对，

得$11$号方案市内出行的

最佳分叉角度是$120.53\pm 0.04$度，

最佳中轴长度是$0.2376\pm 0.0001$，

平均步行距离是$0.33881\pm 0.00001$。

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抽样测试$10^11$个 (起点,终点)  对，

得$11$号方案市内出行的

最佳分叉角度是$120.532\pm 0.004$度，

最佳中轴长度是$0.23763\pm 0.00001$，

平均步行距离是$0.338813\pm 0.000001$。

KeyTo9_Fans

对$11$号方案的分叉路进行弯折，如下图所示：



可以进一步缩短市内出行的平均步行距离。

抽样测试$10^11$个 (起点,终点)  对，得到各个参数的取值如下：

平均步行距离：$0.338807\pm 0.000001$

$L_1=0.23840\pm 0.00005$

$L_2=0.1614\pm 0.0003$

$L_3=0.0290\pm 0.0003$

$a_1=(120.14\pm 0.01)^circ$

$a_2=(177.68\pm 0.02)^circ$

gxqcn

会不会继续出现弯折？最终演化成一段特殊曲线？

Westjackel

如题，在正方形里面，均匀分布的小点之间的距离的平均值是一个四重积分。好像最高只学过三重积分，压力好大。大学白读。

wayne

KeyTo9_Fans 发表于 2010-11-13 16:35
计算任意起点到任意终点的平均距离是一件很麻烦的事情。

当轨道长度为$0$的时候，任意起点到任意终点的 ...

正方形 内任意两点距离的期望值 就是一个涉及四个被积变量的积分吧。
Fans这么算 好诡异啊

wayne

哇.用Mathematica算出来的结果跟8# Fans的完全一样. $\int _0^1\int _0^1\int _0^1\int _0^1\sqrt{(x1-x2)^2+(y1-y2)^2}dy2 dx2 dy1 dx1 $
$=\frac{1}{15} (\sqrt{2}+2+5 \sinh ^{-1}(1))$