最优美的轨道

KeyTo9_Fans

有一个正方形的城市，地面完全平坦。

有无数个居民均匀分布在正方形内部。

本来所有的居民都是步行的。

他们的目的地也是均匀分布在正方形内部。

为了方便居民的出行，我们在地面上铺设轨道交通。

列车班次无穷多，容量无限大，行进速度无穷大，站间距离趋于零，停站时间趋于零。

（也就是说我们一旦走到轨道上就可以立刻上车，瞬间到达轨道上任一一处下车）

轨道总长等于城市周长。

轨道可以分叉，线路条数不限。

我们希望居民出行的平均步行距离最短。

（居民都是足够聪明的，总是知道如何乘车可以最大限度地缩短步行距离）

问：轨道如何设计？

问题扩展：轨道总长等于$k$倍城市周长，问最优的轨道的形状是否有规律？

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为什么城市是正方形的，而不是圆形的？

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严格来说圆形的性质比正方形的性质好。

先讨论正方形是因为古代有天圆地方的说法。

而且城市的边界是直线的居多，圆弧线的很少。

其实正方形和圆形都可以讨论。

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学习学习！

jiaon

猜测是轨道尽量把城市平均分成几块，分的越多越好。比如九宫格形状。

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当轨道总长无限大时会不会是分形的，局布形状与整体形状相似

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现在还没有能力考查太长的轨道。

甚至连$1$倍周长的轨道是什么形状也很难确定。

为了简单起见，我们先假设正方形的边长为$1$，轨道的总长度也是$1$。

看看这长度为$1$的轨道应该如何铺设。

解决了长度为$1$的轨道，我们再考虑更长的轨道。

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计算任意起点到任意终点的平均距离是一件很麻烦的事情。

当轨道长度为$0$的时候，任意起点到任意终点的平均距离如下图所示：



为了将问题简化，我们先不考虑城市内部的起点终点问题。

我们假设轨道上某处是一个火车站，通往别的城市。

居民先乘坐轨道交通到火车站，然后坐火车去别的城市。

于是问题就变成：

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如何铺设轨道，使得正方形内部的点与轨道的平均距离最短。

轨道必须连通。
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这样就可以简化平均距离的计算，腾出更多的时间考虑各种各样的轨道了。

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当轨道长度为$1$的时候，有如下若干种候选方案。



哪种方案最好？

是否有更好的方案？

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去了一趟香港，发现他们的地铁站会延伸出一段很长的遮雨棚。

即使下雨，出了地铁站也可以不用撑伞，直接沿着遮雨棚走上好几个街区。

对于那些住在遮雨棚附近的居民，出去买东西都不用带伞了。

因为地铁站附近全是商场，来回途中全程都有遮雨棚挡雨，实在是方便极了。

受到上面的启发，再次将此题修改：

城市边长为$1$，居民均匀分布。

城市中心是一个火车站。

我们的任务是建造若干段遮雨棚。

遮雨棚的总长度是$1$，方向、段数、分叉数不限，也不必相互连通。

要求居民到车站之间的平均淋雨距离最小。

每个居民都会充分利用遮雨棚使自己的淋雨距离最小。

问遮雨棚如何建造？

$9#$是一些例子。

其中，左上角的方案最简单，平均淋雨距离为$0.25$。