数学研发论坛

 找回密码
 欢迎注册
查看: 4317|回复: 24

[原创] 最优美的轨道

[复制链接]
发表于 2010-10-31 22:28:12 | 显示全部楼层 |阅读模式

马上注册,结交更多好友,享用更多功能,让你轻松玩转社区。

您需要 登录 才可以下载或查看,没有帐号?欢迎注册

x
有一个正方形的城市,地面完全平坦。

有无数个居民均匀分布在正方形内部。

精华
本来所有的居民都是步行的。

他们的目的地也是均匀分布在正方形内部。

为了方便居民的出行,我们在地面上铺设轨道交通。

列车班次无穷多,容量无限大,行进速度无穷大,站间距离趋于零,停站时间趋于零。

(也就是说我们一旦走到轨道上就可以立刻上车,瞬间到达轨道上任一一处下车)

轨道总长等于城市周长。

轨道可以分叉,线路条数不限。

我们希望居民出行的平均步行距离最短。

(居民都是足够聪明的,总是知道如何乘车可以最大限度地缩短步行距离)

问:轨道如何设计?

问题扩展:轨道总长等于$k$倍城市周长,问最优的轨道的形状是否有规律?
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2010-11-1 07:38:51 | 显示全部楼层
为什么城市是正方形的,而不是圆形的?
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2010-11-1 11:44:30 | 显示全部楼层
严格来说圆形的性质比正方形的性质好。

先讨论正方形是因为古代有天圆地方的说法。

而且城市的边界是直线的居多,圆弧线的很少。

其实正方形和圆形都可以讨论。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2010-11-3 12:37:01 | 显示全部楼层
学习学习!
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2010-11-7 17:09:56 | 显示全部楼层
猜测是轨道尽量把城市平均分成几块,分的越多越好。比如九宫格形状。

评分

参与人数 1金币 +1 收起 理由
KeyTo9_Fans + 1 九宫格是一个解,恰好4条线,等于周长

查看全部评分

毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2010-11-13 13:56:59 | 显示全部楼层
当轨道总长无限大时会不会是分形的,局布形状与整体形状相似
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2010-11-13 15:07:59 | 显示全部楼层
现在还没有能力考查太长的轨道。

甚至连$1$倍周长的轨道是什么形状也很难确定。

为了简单起见,我们先假设正方形的边长为$1$,轨道的总长度也是$1$。

看看这长度为$1$的轨道应该如何铺设。

解决了长度为$1$的轨道,我们再考虑更长的轨道。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2010-11-13 16:35:30 | 显示全部楼层
计算任意起点到任意终点的平均距离是一件很麻烦的事情。

当轨道长度为$0$的时候,任意起点到任意终点的平均距离如下图所示:

solve.PNG

为了将问题简化,我们先不考虑城市内部的起点终点问题。

我们假设轨道上某处是一个火车站,通往别的城市。

居民先乘坐轨道交通到火车站,然后坐火车去别的城市。

于是问题就变成:

——————————————————————————
如何铺设轨道,使得正方形内部的点与轨道的平均距离最短。

轨道必须连通。
——————————————————————————

这样就可以简化平均距离的计算,腾出更多的时间考虑各种各样的轨道了。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2010-11-13 16:43:45 | 显示全部楼层
当轨道长度为$1$的时候,有如下若干种候选方案。

line1.PNG

哪种方案最好?

是否有更好的方案?
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2010-11-22 22:41:40 | 显示全部楼层
去了一趟香港,发现他们的地铁站会延伸出一段很长的遮雨棚。

推荐
即使下雨,出了地铁站也可以不用撑伞,直接沿着遮雨棚走上好几个街区。

对于那些住在遮雨棚附近的居民,出去买东西都不用带伞了。

因为地铁站附近全是商场,来回途中全程都有遮雨棚挡雨,实在是方便极了。

受到上面的启发,再次将此题修改:

城市边长为$1$,居民均匀分布。

城市中心是一个火车站。

我们的任务是建造若干段遮雨棚。

遮雨棚的总长度是$1$,方向、段数、分叉数不限,也不必相互连通。

要求居民到车站之间的平均淋雨距离最小。

每个居民都会充分利用遮雨棚使自己的淋雨距离最小。

问遮雨棚如何建造?

$9#$是一些例子。

其中,左上角的方案最简单,平均淋雨距离为$0.25$。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
您需要登录后才可以回帖 登录 | 欢迎注册

本版积分规则

小黑屋|手机版|数学研发网 ( 苏ICP备07505100号 )

GMT+8, 2019-12-15 15:17 , Processed in 0.064440 second(s), 20 queries .

Powered by Discuz! X3.4

© 2001-2017 Comsenz Inc.

快速回复 返回顶部 返回列表