谢谢G-Spider慷慨相助。
只是还有个疑问，也许这个问题就不该问，或许要求得高了，只是提出来而已，回不回答都无关系：
是什么原因导致公式“Sum=X0 + X1 + ... +Xn ”不能用更加统一的公式去代替它呢？
找到了原因所在，兴许就有助于问题的解决。
其实9#的推广还是不难的。
首先我们可以考虑普通的周期数列。假设数列${a_n}$的周期为T,那么我们知道$a_{n+T}=a_n$,所以它是一个以$x^T-1$为特征多项式的线性递推序列，其通项公式可以写成$a_n=\sum_{u=1}^Th_u\omega_u^n$,其中$h_1,h_2,...,h_T$是待定系数，而$\omega_u=\omega_1^u$,其中$\omega_1$是T次单位根。也就是我们可以根据$a_1,a_2,...,a_T$的取值来确定它们，而这个确定过程正好是求解一个T阶线性方程组，对应系数矩阵是范德蒙矩阵。
而9楼的一般解还是可以分解为一个线性函数加一个周期序列，所以必然可以写成楼主希望的形式。
发现在p>1时，略微有所不同，周期部分周期是m-p,但是前面p-1项有点特殊。
而p项以后是一个线性函数和周期函数之和，但是如果将整个数列用这个线性函数和周期函数之和代替，在前p-1项会相差一个常数。由此，我们需要在累加一个特殊的函数，它在x<p-1/2时取值为c,在x>p-1/2时取值为0，这个可以通过累加函数
$c/2(1-{x-p+1/2}/{|x-p+1/2|})$来达到
mathe终于出山了，感动啊！:)
想问mathe，a_n=\sum_{u=1}^Th_u\omega_u^n中的\omega_u^n是否就是\omega_u呢？
因为在后面有\omega_u=\omega_1^n,不知我的理解是否有误？
:dizzy:
这题有意思
16# wkwable
r个桃胡可以兑换出1个桃。兑换出的桃子楼主又立刻吃掉了，继续兑换桃子，这样无穷无尽下去。。。。
我们可以考虑将n表示成r进制数，设各个数位上的数字依次为a_i ,即 n=\sum_{i=0}^{N}a_i*r^i.
那么，作这样的操作 f(n) =\sum_{i=0}^{N}a_i*{r^i-1}/{r-1}
g(n)=\sum_{i=0}^{N}a_i
对n不停的作上述操作，那么，当g_{k}(n)<r-1时，操作停止。
此时，答案即是：
n+f_1(n)+f_2(n)+...+f_k(n)
无意间发现上述计算过程可以化简，化简之后更没想到这么简：
将n表示成r进制的形式：n=\sum_{i=0}^{|__\log_r n__|}a_i*r^i
重新定义g(n,r)，递归形式的：
$g(n,r)={(0,(n<r-1)),(1,(n=r-1)),(g(s(n), r),(n>=r)):}$
其中，s(n)表示n的r进制的各位数字之和。
则n元钱最终能兑换出f(n,r)个桃子：
f(n,r)=n+|__{n-g(n,r)}/{r-1}__|
怪哉，我编辑n遍了，分段函数的那个大括号效果 就是出不来