数学高手、大师注意了，挑战你的智力：求一个吃桃总数的公式

wkwable

谢谢G-Spider慷慨相助。

wkwable

只是还有个疑问，也许这个问题就不该问，或许要求得高了，只是提出来而已，回不回答都无关系：

是什么原因导致公式“Sum=X0 + X1 + ... +Xn ”不能用更加统一的公式去代替它呢？


找到了原因所在，兴许就有助于问题的解决。

mathe

其实9#的推广还是不难的。
首先我们可以考虑普通的周期数列。假设数列${a_n}$的周期为T,那么我们知道$a_{n+T}=a_n$,所以它是一个以$x^T-1$为特征多项式的线性递推序列，其通项公式可以写成$a_n=\sum_{u=1}^Th_u\omega_u^n$,其中$h_1,h_2,...,h_T$是待定系数，而$\omega_u=\omega_1^u$,其中$\omega_1$是T次单位根。也就是我们可以根据$a_1,a_2,...,a_T$的取值来确定它们，而这个确定过程正好是求解一个T阶线性方程组，对应系数矩阵是范德蒙矩阵。
而9楼的一般解还是可以分解为一个线性函数加一个周期序列，所以必然可以写成楼主希望的形式。

mathe

发现在p>1时，略微有所不同，周期部分周期是m-p,但是前面p-1项有点特殊。
而p项以后是一个线性函数和周期函数之和，但是如果将整个数列用这个线性函数和周期函数之和代替，在前p-1项会相差一个常数。由此，我们需要在累加一个特殊的函数，它在x<p-1/2时取值为c,在x>p-1/2时取值为0，这个可以通过累加函数
$c/2(1-{x-p+1/2}/{|x-p+1/2|})$来达到

wkwable

mathe终于出山了，感动啊！

wkwable

想问mathe，$a_n=\sum_{u=1}^Th_u\omega_u^n$中的$\omega_u^n$是否就是$\omega_u$呢？
因为在后面有$\omega_u=\omega_1^n$,不知我的理解是否有误？

wayne

这题有意思

wayne

16# wkwable
r个桃胡可以兑换出1个桃。兑换出的桃子楼主又立刻吃掉了，继续兑换桃子，这样无穷无尽下去。。。。

我们可以考虑将n表示成r进制数，设各个数位上的数字依次为$a_i$ ,即 $n=\sum_{i=0}^{N}a_i*r^i$.

那么，作这样的操作 f(n) =$\sum_{i=0}^{N}a_i*{r^i-1}/{r-1}$
g(n)=$\sum_{i=0}^{N}a_i$

对n不停的作上述操作，那么，当$g_{k}(n)<r-1$时，操作停止。
此时，答案即是：

$n+f_1(n)+f_2(n)+...+f_k(n)$

wayne

无意间发现上述计算过程可以化简，化简之后更没想到这么简：

将n表示成r进制的形式：$n=\sum_{i=0}^{|__\log_r n__|}a_i*r^i$
重新定义g(n,r)，递归形式的：
$g(n,r)={(0,(n<r-1)),(1,(n=r-1)),(g(s(n), r),(n>=r)):}$
其中，s(n)表示n的r进制的各位数字之和。

则n元钱最终能兑换出f(n,r)个桃子：
$f(n,r)=n+|__{n-g(n,r)}/{r-1}__|$

wayne

怪哉，我编辑n遍了，分段函数的那个大括号效果 就是出不来