tian27546 发表于 2010-12-25 22:04:50

一道积分试题

大家想想

wayne 发表于 2010-12-26 00:07:57

本帖最后由 wayne 于 2010-12-26 00:09 编辑

运用留数定理，算得 答案应该是 -\ln(2)/{2}

forcal 发表于 2010-12-26 07:18:20

我用数值方法验证了一下结果，Forcal代码：f(x)={x/-1/2}/x^2;
IMSL::QDAGI(HFor("f"),0,1,0,1e-6,0);
-ln(2)/2;-0.3465735902858284
-0.3465735902799726

tian27546 发表于 2010-12-26 08:56:13

请版主给出留数详细过程 看看有没含参积分方法

wayne 发表于 2010-12-26 10:47:59

4# tian27546
不含参，直接算出来的，令x=iz,则 z=k*pi (k不为0) 均为函数的一级极点。

I= -1/2 (1-1/2+1/3-1/4+......)=-ln2/2

tian27546 发表于 2010-12-26 12:34:11

哦 谢谢哈 因为那个问我的人是大一的 说是本数分书上的 我想可以利用含参积分算出来

wayne 发表于 2010-12-27 00:57:00

那个一般技巧性很高，没有套路的，反正我还没想到。

该积分换种形式要好看一些：
\int_0^{+\infty}{x/{sinh(x)}-1}/{x^2}\dx

wayne 发表于 2010-12-27 01:05:05

我可以仿照此题，出很多例子，如果你有兴趣，不放算算：
\int_0^{+\infty}x/{sinh(x)}\dx
\int_0^{+\infty}{x/{sinh(x)}-1}/{x^2}\dx
\int_0^{+\infty}{x/{sinh(x)}-1+x^2/6}/{x^4}\dx
\int_0^{+\infty}x^2/{cosh(x)-1}\dx

===================================
\int_0^{+\infty}{sin(x)}/{x}\dx
\int_0^{+\infty}{1-sin(x)/x}/{x^2}\dx
\int_0^{+\infty}{1-sin(x)/x-x^2/6}/{x^4}\dx
\int_0^{+\infty}{1-cos(x)}/x^2\dx
\int_0^{+\infty}{1-cos(x)-x^2/6}/x^4\dx

tian27546 发表于 2010-12-27 12:19:26

下面这些几乎都可以用含参数积分 积的
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