一道积分试题

tian27546 · 发表于 2010-12-25 22:04:50

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大家想想

wayne · 发表于 2010-12-26 00:07:57

本帖最后由 wayne 于 2010-12-26 00:09 编辑

运用留数定理，算得答案应该是 $-\ln(2)/{2}$

forcal · 发表于 2010-12-26 07:18:20

我用数值方法验证了一下结果，Forcal代码：

f(x)={x/[exp(x)-exp(-x)]-1/2}/x^2;
IMSL::QDAGI(HFor("f"),0,1,0,1e-6,0);
-ln(2)/2;

复制代码

-0.3465735902858284
-0.3465735902799726

tian27546 · 发表于 2010-12-26 08:56:13

请版主给出留数详细过程看看有没含参积分方法

wayne · 发表于 2010-12-26 10:47:59

4# tian27546
不含参，直接算出来的，令x=iz, 则 z=k*pi (k不为0) 均为函数的一级极点。

I= -1/2 (1-1/2+1/3-1/4+......) =-ln2/2

tian27546 · 发表于 2010-12-26 12:34:11

哦谢谢哈因为那个问我的人是大一的说是本数分书上的我想可以利用含参积分算出来

wayne · 发表于 2010-12-27 00:57:00

那个一般技巧性很高，没有套路的，反正我还没想到。

该积分换种形式要好看一些：
$\int_0^{+\infty}{x/{sinh(x)}-1}/{x^2}\dx $

wayne · 发表于 2010-12-27 01:05:05

我可以仿照此题，出很多例子，如果你有兴趣，不放算算：
$\int_0^{+\infty}x/{sinh(x)}\dx $
$\int_0^{+\infty}{x/{sinh(x)}-1}/{x^2}\dx $
$\int_0^{+\infty}{x/{sinh(x)}-1+x^2/6}/{x^4}\dx $
$\int_0^{+\infty}x^2/{cosh(x)-1}\dx $

===================================
$\int_0^{+\infty}{sin(x)}/{x}\dx $
$\int_0^{+\infty}{1-sin(x)/x}/{x^2}\dx $
$\int_0^{+\infty}{1-sin(x)/x-x^2/6}/{x^4}\dx $
$\int_0^{+\infty}{1-cos(x)}/x^2\dx $
$\int_0^{+\infty}{1-cos(x)-x^2/6}/x^4\dx $

tian27546 · 发表于 2010-12-27 12:19:26

下面这些几乎都可以用含参数积分积的

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