yinhow 发表于 2012-3-6 11:47:32

10# Buffalo
谢谢水牛大虾解答。
有个小问题，你给出的解答，前面几步看得懂，最后一步看不懂，就是无穷求和得到Catalan 常数的那个步骤。

yinhow 发表于 2012-3-7 20:57:10

10# Buffalo
我知道最后一步的无穷求和化简到Catalan常数的具体细节了，谢谢！

wayne 发表于 2012-3-8 09:32:15

我也有一种思路：
2-cosx-cosy = 2 sin(x/2)^2 + 2 sin(y/2)^2
令s= sin(x/2), t= sin(y/2)
s,t 换成 x,y
原积分换成了 ：
I=4 int_0^1int_0^1{log(2x^2+2y^2)}/{\sqrt{(1-x^2)(1-y^2)}}dxdy
继续：
I=4 int_0^1int_0^1{log(x^2+y^2)}/{\sqrt{(1-x^2)(1-y^2)}}dxdy +\pi^2*log(2)

I=4\pi*int_0^1{ \sinh ^{-1}(x)-\log (2)}/{\sqrt(1-x^2)}dx+\pi^2*log(2)
=4 \pi Catalan-\pi^2\log (2)
参考积分：
\int_0^1 \frac{ \log (x^2+y^2)}{\sqrt{1-x^2}} \ dx= \pi(\sinh ^{-1}(y)-\log (2))

wayne 发表于 2012-3-8 19:14:11

针对上面的变换后的积分式子，可以将分子的对数拆开，这样 用Mathematica就能一步到位的算出结果来：Simplify/Sqrt[(1 - x^2) (1 - y^2)], {x, 0, 1}, {y, 0, 1}] +
Integrate[(4 Log)/Sqrt[(1 - x^2) (1 - y^2)], {x, 0, 1}, {y, 0, 1}]]

荼靡破晓 发表于 2012-4-17 00:39:34

。。。10楼真猛
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