求两重积分的值

yinhow

10# Buffalo
谢谢水牛大虾解答。
有个小问题，你给出的解答，前面几步看得懂，最后一步看不懂，就是无穷求和得到Catalan 常数的那个步骤。

yinhow

10# Buffalo
我知道最后一步的无穷求和化简到Catalan常数的具体细节了，谢谢！

wayne

我也有一种思路：
2-cosx-cosy = 2 sin(x/2)^2 + 2 sin(y/2)^2
令s= sin(x/2), t= sin(y/2)
s,t 换成 x,y
原积分换成了 ：
$I=4 int_0^1int_0^1{log(2x^2+2y^2)}/{\sqrt{(1-x^2)(1-y^2)}}dxdy$
继续：
$I=4 int_0^1int_0^1{log(x^2+y^2)}/{\sqrt{(1-x^2)(1-y^2)}}dxdy +\pi^2*log(2)$

$I=4\pi*int_0^1{ \sinh ^{-1}(x)-\log (2)}/{\sqrt(1-x^2)}dx+\pi^2*log(2)$
=$4 \pi Catalan-\pi^2  \log (2)$
参考积分：
$\int_0^1 \frac{ \log (x^2+y^2)}{\sqrt{1-x^2}} \ dx= \pi  (\sinh ^{-1}(y)-\log (2))$

wayne

针对上面的变换后的积分式子，可以将分子的对数拆开，这样 用Mathematica就能一步到位的算出结果来：

1. Simplify[4 Integrate[Log[x^2 + y^2]/Sqrt[(1 - x^2) (1 - y^2)], {x, 0, 1}, {y, 0, 1}] +  
   
2. Integrate[(4 Log[2])/Sqrt[(1 - x^2) (1 - y^2)], {x, 0, 1}, {y, 0, 1}]]

复制代码

荼靡破晓

。。。10楼真猛