多项式的平方问题
如果整系数多项式f(x)对于所有整数n,都有f(n)是完全平方数，证明:存在整系数多项式g(x)使得$f(x)=g(x)^2$来源:http://tieba.baidu.com/f?kz=1044927266 引理1：对于次数不小于1的整系数多项式f(x)，对于任意N，存在整数m和素数p使得p>N,p|f(m) 引理2:如果整系数多项式f(x)对于所有整数取值是完全平方数，那么对于任意素数p和整数n,如果$p|f(n)$,那么$p|f'(n)$ 引理3:$(x-d)^k|f(x)$并且$(x-d)^k|f'(x) => (x-d)^{k+1}|f(x)$ 引理4:$f(x)=a(x-x_1)^{b_1}(x-x_2)^{b_2}...(x-x_h)^{b_h}$是有理系数多项式，那么$g(x)=(x-x_1)(x-x_2)...(x-x_h)$也是有理系数多项式 这个，给出了引理2,3 ，莫非是要用数学分析的手段解答 对于多项式，我们可以直接对于$f(x)=a_0+a_1x+...+a_nx^n$,定义$f'(x)=1*a_1+2*a_2*x+...+n*a_n*x^{n-1}$
然后证明$(f(x)g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$即可，此后，分析中的知识就不需要了。 现在给个引理1的证明，这个应该是这几个引理里面技巧性相对较高一些的证明，采用反证。
假设${p|p|f(n) "for any "n}$只有有限个元，设$p_1,p_2,...,p_t$
假设$a_0=f(0)$为多项式f(x)的常数项，不妨设$a_0!=0$,现在我们查看${f(u*a_0p_1p_2...p_t)}/{a_0}$
这个数字同$p_1,p_2,...,p_t$都互素，所以必然有新素因子 https://en.wikipedia.org/wiki/Hilbert%27s_irreducibility_theorem
http://math.stackexchange.com/questions/1368440/can-a-non-rational-polynomial-be-rational-at-all-integers
http://math.stackexchange.com/questions/435693/for-polynomial-f-does-frational-rational2-always-imply-that-fx
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