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[原创] 多项式的平方问题

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发表于 2011-4-7 13:08:41 | 显示全部楼层 |阅读模式

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如果整系数多项式f(x)对于所有整数n,都有f(n)是完全平方数,证明:存在整系数多项式g(x)使得$f(x)=g(x)^2$
来源:http://tieba.baidu.com/f?kz=1044927266
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毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2011-4-7 17:28:05 | 显示全部楼层
引理1:对于次数不小于1的整系数多项式f(x),对于任意N,存在整数m和素数p使得p>N,p|f(m)
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 楼主| 发表于 2011-4-7 18:06:12 | 显示全部楼层
引理2:如果整系数多项式f(x)对于所有整数取值是完全平方数,那么对于任意素数p和整数n,如果$p|f(n)$,那么$p|f'(n)$
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 楼主| 发表于 2011-4-7 18:07:18 | 显示全部楼层
引理3:$(x-d)^k|f(x)$并且$(x-d)^k|f'(x) => (x-d)^{k+1}|f(x)$
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 楼主| 发表于 2011-4-7 18:10:32 | 显示全部楼层
引理4:$f(x)=a(x-x_1)^{b_1}(x-x_2)^{b_2}...(x-x_h)^{b_h}$是有理系数多项式,那么$g(x)=(x-x_1)(x-x_2)...(x-x_h)$也是有理系数多项式
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发表于 2011-4-7 18:13:37 | 显示全部楼层
这个,给出了引理2,3 ,莫非是要用数学分析的手段解答
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 楼主| 发表于 2011-4-7 18:19:43 | 显示全部楼层
对于多项式,我们可以直接对于$f(x)=a_0+a_1x+...+a_nx^n$,定义$f'(x)=1*a_1+2*a_2*x+...+n*a_n*x^{n-1}$
然后证明$(f(x)g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$即可,此后,分析中的知识就不需要了。
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 楼主| 发表于 2011-4-8 19:59:27 | 显示全部楼层
现在给个引理1的证明,这个应该是这几个引理里面技巧性相对较高一些的证明,采用反证。
假设${p|p|f(n) "for any "n}$只有有限个元,设$p_1,p_2,...,p_t$
假设$a_0=f(0)$为多项式f(x)的常数项,不妨设$a_0!=0$,现在我们查看${f(u*a_0p_1p_2...p_t)}/{a_0}$
这个数字同$p_1,p_2,...,p_t$都互素,所以必然有新素因子
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发表于 2017-1-22 23:27:17 | 显示全部楼层
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