解析几何
如图，点A(1,sqrt3)为椭圆(x^2)/2+(y^2)/n=1上的点，过点A引两直线与椭圆交于B，C两点，若直线AB，AC与x轴围成以点A为顶点的等腰三角形，求直线BC的斜率，并求出什么条件下，三角形ABC面积最大，是多少？当BC的斜率等于根号3的时候,三角形ABC的面积最大,为根号3 此时有两种情况:
一种情况是直线AC的斜率是Sqrt (-1 + Sqrt)
另一种情况是直线AC的斜率是Sqrt + Sqrt
这两种情况下,直线BC的斜率都是根号3,三角形ABC的面积都是根号3 解析过程？这是大家想知道的。 解析过程？这是大家想知道的。
raa 发表于 2011-4-12 12:53 http://bbs.emath.ac.cn/images/common/back.gif
过程其实是你想知道的,这个问题很简单的,
我只能给你思路
先假设AC的斜率是k(可以假设K>0,对于斜率不存在情况很容易排除的),
那么AB的斜率就是-k,
然后写出直线AC和直线AB的方程,
带入椭圆的方程,这样就求出了B和C点的坐标,
因此可以求出向量AB和向量AC的坐标,
向量AB={x1,y1}
向量AC={x2,y2}
因此三角形ABC的面积是
S(k)=1/2*(x1*y2-x2*y1)
然后求出S(k)的最大值就可以了,很简单的 求解可能有些麻烦,由于我讨厌来回编辑公式,所以我只能给你思路! 再给你一张直线AC的斜率与三角形ABC面积的变化图 本帖最后由 mathematica 于 2021-1-18 10:15 编辑
Clear["Global`*"];
(*A点坐标*)
{xa,ya}={1,Sqrt}
(*B点坐标，联立方程求B点坐标*)
{xb,yb}={x,y}/.Flatten@FullSimplify@Solve
(*C点坐标，联立方程求C点坐标*)
{xc,yc}={x,y}/.Flatten@FullSimplify@Solve
(*计算BC点的斜率，似乎是常数*)
kBC=((yb-yc)/(xb-xc))//FullSimplify
(*计算三角形的面积，此处应该取绝对值，但是最大最小值都求解了就可以了*)
ff=FullSimplify/2]
(*画图观察是奇函数*)
Plot
(*求出所有导数等于零的点*)
aaa=FullSimplify@Solve==0,{k}]
(*查看所有最值点大小*)
bbb=(ff/.aaa)//FullSimplify
计算结果
B点坐标
\[\left\{\frac{2 \left(\sqrt{3} k-3\right)}{k^2+3}+1,\frac{6 \left(k+\sqrt{3}\right)}{k^2+3}-\sqrt{3}\right\}\]
C点坐标
\[\left\{1-\frac{2 \left(\sqrt{3} k+3\right)}{k^2+3},\frac{6 \left(\sqrt{3}-k\right)}{k^2+3}-\sqrt{3}\right\}\]
BC斜率
\[\sqrt{3}\]
面积代数值
\[-\frac{12 k \left(k^2-3\right)}{\left(k^2+3\right)^2}\]
导数等于零的点
\[\left\{\left\{k\to \sqrt{3}-\sqrt{6}\right\},\left\{k\to \sqrt{9-6 \sqrt{2}}\right\},\left\{k\to -\sqrt{3} \left(\sqrt{2}+1\right)\right\},\left\{k\to \sqrt{3}+\sqrt{6}\right\}\right\}\]
极值点大小
\[\left\{-\sqrt{3},\sqrt{3},\sqrt{3},-\sqrt{3}\right\}\]
直线AC的斜率与三角形ABC的面积变化函数关系图（没求绝对值）
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