解析几何

raa

如图，点A(1,$sqrt3$)为椭圆$(x^2)/2+(y^2)/n=1$上的点，过点A引两直线与椭圆交于B，C两点，若直线AB，AC与x轴围成以点A为顶点的等腰三角形，求直线BC的斜率，并求出什么条件下，三角形ABC面积最大，是多少？

mathematica

当BC的斜率等于根号3的时候,三角形ABC的面积最大,为根号3

mathematica

此时有两种情况:
一种情况是直线AC的斜率是Sqrt[3] (-1 + Sqrt[2])
另一种情况是直线AC的斜率是Sqrt[3] + Sqrt[6]

这两种情况下,直线BC的斜率都是根号3,三角形ABC的面积都是根号3

raa

解析过程？这是大家想知道的。

mathematica

解析过程？这是大家想知道的。
[size=200]raa 发表于 2011-4-12 12:53

过程其实是你想知道的,这个问题很简单的,
我只能给你思路
先假设AC的斜率是k(可以假设K>0,对于斜率不存在情况很容易排除的),
那么AB的斜率就是-k,
然后写出直线AC和直线AB的方程,
带入椭圆的方程,这样就求出了B和C点的坐标,
因此可以求出向量AB和向量AC的坐标,
向量AB={x1,y1}
向量AC={x2,y2}
因此三角形ABC的面积是
S(k)=1/2*(x1*y2-x2*y1)
然后求出S(k)的最大值就可以了,很简单的

mathematica

求解可能有些麻烦,由于我讨厌来回编辑公式,所以我只能给你思路!

mathematica

再给你一张直线AC的斜率与三角形ABC面积的变化图

mathematica

1. Clear["Global`*"];
   
2. (*A点坐标*)
   
3. {xa,ya}={1,Sqrt[3]}
   
4. (*B点坐标，联立方程求B点坐标*)
   
5. {xb,yb}={x,y}/.Flatten@FullSimplify@Solve[x^2/2+y^2/6==1&&(y-ya)/(x-xa)==-k,{x,y}]
   
6. (*C点坐标，联立方程求C点坐标*)
   
7. {xc,yc}={x,y}/.Flatten@FullSimplify@Solve[x^2/2+y^2/6==1&&(y-ya)/(x-xa)==k,{x,y}]
   
8. (*计算BC点的斜率，似乎是常数*)
   
9. kBC=((yb-yc)/(xb-xc))//FullSimplify
   
10. (*计算三角形的面积，此处应该取绝对值，但是最大最小值都求解了就可以了*)
    
11. ff=FullSimplify[Det[{{xa,ya,1},{xb,yb,1},{xc,yc,1}}]/2]
    
12. (*画图观察是奇函数*)
    
13. Plot[ff,{k,-10,10}]
    
14. (*求出所有导数等于零的点*)
    
15. aaa=FullSimplify@Solve[D[ff,k]==0,{k}]
    
16. (*查看所有最值点大小*)
    
17. bbb=(ff/.aaa)//FullSimplify
    

复制代码

计算结果

B点坐标
\[\left\{\frac{2 \left(\sqrt{3} k-3\right)}{k^2+3}+1,\frac{6 \left(k+\sqrt{3}\right)}{k^2+3}-\sqrt{3}\right\}\]

C点坐标
\[\left\{1-\frac{2 \left(\sqrt{3} k+3\right)}{k^2+3},\frac{6 \left(\sqrt{3}-k\right)}{k^2+3}-\sqrt{3}\right\}\]

BC斜率
\[\sqrt{3}\]

面积代数值
\[-\frac{12 k \left(k^2-3\right)}{\left(k^2+3\right)^2}\]

导数等于零的点
\[\left\{\left\{k\to \sqrt{3}-\sqrt{6}\right\},\left\{k\to \sqrt{9-6 \sqrt{2}}\right\},\left\{k\to -\sqrt{3} \left(\sqrt{2}+1\right)\right\},\left\{k\to \sqrt{3}+\sqrt{6}\right\}\right\}\]

极值点大小
\[\left\{-\sqrt{3},\sqrt{3},\sqrt{3},-\sqrt{3}\right\}\]

直线AC的斜率与三角形ABC的面积变化函数关系图（没求绝对值）