用置换群的方法研究素数的循环群
我们知道在模5下，有2^1=2
2^2=4
2^3=3
2^4=1
将结果与指数联系起来，对于原根便构成一个由p-1个数组成的置换群(2431),对于以3为底的数，有(3421)我想这样对于置换群的研究，就有了特定的对象，能否借此研究出更多的有关素数的性质，希望大家发表意见。 本帖最后由 wsc810 于 2021-6-13 15:01 编辑
In:= PrimitiveRootList
Out= {3, 5}
In:= Mod, 7]
Out= {3, 2, 6, 4, 5, 1}
In:= Mod, 7]
Out= {5, 4, 6, 2, 3, 1} In:= PrimitiveRootList
Out= {2, 6, 7, 8}
In:= Mod, 11]
Out= {2, 4, 8, 5, 10, 9, 7, 3, 6, 1}
In:= Mod, 11]
Out= {6, 3, 7, 9, 10, 5, 8, 4, 2, 1}
In:= Mod, 11]
Out= {7, 5, 2, 3, 10, 4, 6, 9, 8, 1}
In:= Mod, 11]
Out= {8, 9, 6, 4, 10, 3, 2, 5, 7, 1} 大家发现规律没有 恭喜你重新发现了五阶群只有一个 本帖最后由 wsc810 于 2021-6-14 18:45 编辑
若a,b是素数p的原根，则 $a^{p-2}=b$刚好将素数p的所有原根两两配对。且有 $b^{p-2}=a$
p=17例如$11^15=14,14^15=11$ 实质结果为 $a*b=1$ a,b为素数p的原根，原根刚好两两配对 很久以前就有人研究过你的结论了 本帖最后由 wsc810 于 2021-6-15 19:06 编辑
发现原根及倒数原根是有规律分布的
PrimitiveRootList
{2, 3, 8, 10, 11, 14, 15, 18, 19, 21, 26, 27}
PowerMod[{2, 3, 8, 14, 15, 18, 19}, -1, 29]
{15, 10, 11, 27, 2, 21, 26}
在原根序列中{2,15}和{14,27}中间间隔 5 个数，其余的间隔一个数
但素数 23 没有明显的分布规律
PrimitiveRootList
{5, 7, 10, 11, 14, 15, 17, 19, 20, 21}
PowerMod[{5, 7, 11, 15, 17}, -1, 23]
{14, 10, 21, 20, 19}
素数 17 也是有规律分布的
PrimitiveRootList
{3, 5, 6, 7, 10, 11, 12, 14}
PowerMod[{3, 5, 10, 11}, -1, 17]
{6, 7, 12, 14}
素数 31 是有规律分布的
PrimitiveRootList
{3, 11, 12, 13, 17, 21, 22, 24}
PowerMod[{3, 11, 12, 22}, -1, 31]
{21, 17, 13, 24}
素数 37 也是有规律的
PrimitiveRootList
{2, 5, 13, 15, 17, 18, 19, 20, 22, 24, 32, 35}
PowerMod[{2, 5, 13, 17, 18, 22}, -1, 37]
{19, 15, 20, 24, 35, 32} 本帖最后由 wsc810 于 2021-6-21 20:37 编辑
素数41
PrimitiveRootList
{6, 7, 11, 12, 13, 15, 17, 19, 22, 24, 26, 28, 29, 30, 34, 35}
PowerMod[{6, 11, 12, 13, 17, 22, 26, 34}, -1, 41]
{7, 15, 24, 19, 29, 28, 30, 35}
{6,7}{11,15}{12,24}{12,24}{13,19}{17,29}{22,28}{26,30}{34,35}
假如我们将素数的所有原根按照首尾顺序排列成一个圆圈，然后将${a_i,b_i}$连接起来，怎么用Mathematica作图
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