数学研发论坛

 找回密码
 欢迎注册
查看: 1744|回复: 12

[原创] 用置换群的方法研究素数的循环群

[复制链接]
发表于 2011-6-23 17:38:17 | 显示全部楼层 |阅读模式

马上注册,结交更多好友,享用更多功能,让你轻松玩转社区。

您需要 登录 才可以下载或查看,没有帐号?欢迎注册

x
我们知道在模5下,有
2^1=2
2^2=4
2^3=3
2^4=1
将结果与指数联系起来,对于原根便构成一个由p-1个数组成的置换群(2431),对于以3为底的数,有(3421)我想这样对于置换群的研究,就有了特定的对象,能否借此研究出更多的有关素数的性质,希望大家发表意见。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2021-6-13 14:58:32 | 显示全部楼层
本帖最后由 wsc810 于 2021-6-13 15:01 编辑
  1. In[12]:= PrimitiveRootList[7]

  2. Out[12]= {3, 5}

  3. In[13]:= Mod[Table[3^i, {i, 6}], 7]

  4. Out[13]= {3, 2, 6, 4, 5, 1}

  5. In[11]:= Mod[Table[5^i, {i, 6}], 7]

  6. Out[11]= {5, 4, 6, 2, 3, 1}
复制代码
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2021-6-13 15:07:23 | 显示全部楼层
  1. In[14]:= PrimitiveRootList[11]

  2. Out[14]= {2, 6, 7, 8}

  3. In[16]:= Mod[Table[2^i, {i, 10}], 11]

  4. Out[16]= {2, 4, 8, 5, 10, 9, 7, 3, 6, 1}

  5. In[17]:= Mod[Table[6^i, {i, 10}], 11]

  6. Out[17]= {6, 3, 7, 9, 10, 5, 8, 4, 2, 1}

  7. In[18]:= Mod[Table[7^i, {i, 10}], 11]

  8. Out[18]= {7, 5, 2, 3, 10, 4, 6, 9, 8, 1}

  9. In[19]:= Mod[Table[8^i, {i, 10}], 11]

  10. Out[19]= {8, 9, 6, 4, 10, 3, 2, 5, 7, 1}
复制代码
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2021-6-13 15:08:54 | 显示全部楼层
大家发现规律没有
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2021-6-13 18:20:03 | 显示全部楼层
恭喜你重新发现了五阶群只有一个
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2021-6-14 18:39:58 | 显示全部楼层
本帖最后由 wsc810 于 2021-6-14 18:45 编辑

若a,b是素数p的原根,则 $a^{p-2}=b$刚好将素数p的所有原根两两配对。且有 $b^{p-2}=a$  

p=17例如$11^15=14,14^15=11$
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2021-6-14 18:49:46 | 显示全部楼层
实质结果为 $a*b=1$ a,b为素数p的原根,原根刚好两两配对
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2021-6-14 21:30:21 | 显示全部楼层
很久以前就有人研究过你的结论了
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2021-6-15 18:18:54 | 显示全部楼层
本帖最后由 wsc810 于 2021-6-15 19:06 编辑

发现原根及倒数原根是有规律分布的

  1. PrimitiveRootList[29]

  2. {2, 3, 8, 10, 11, 14, 15, 18, 19, 21, 26, 27}

  3. PowerMod[{2, 3, 8, 14, 15, 18, 19}, -1, 29]

  4. {15, 10, 11, 27, 2, 21, 26}
复制代码


在原根序列中{2,15}和{14,27}中间间隔 5 个数,其余的间隔一个数

但素数 23 没有明显的分布规律

  1. PrimitiveRootList[23]

  2. {5, 7, 10, 11, 14, 15, 17, 19, 20, 21}

  3. PowerMod[{5, 7, 11, 15, 17}, -1, 23]

  4. {14, 10, 21, 20, 19}
复制代码


素数 17 也是有规律分布的

  1. PrimitiveRootList[17]

  2. {3, 5, 6, 7, 10, 11, 12, 14}

  3. PowerMod[{3, 5, 10, 11}, -1, 17]

  4. {6, 7, 12, 14}
复制代码


素数 31 是有规律分布的

  1. PrimitiveRootList[31]

  2. {3, 11, 12, 13, 17, 21, 22, 24}

  3. PowerMod[{3, 11, 12, 22}, -1, 31]

  4. {21, 17, 13, 24}
复制代码


素数 37 也是有规律的

  1. PrimitiveRootList[37]

  2. {2, 5, 13, 15, 17, 18, 19, 20, 22, 24, 32, 35}

  3. PowerMod[{2, 5, 13, 17, 18, 22}, -1, 37]

  4. {19, 15, 20, 24, 35, 32}
复制代码
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2021-6-21 20:03:31 | 显示全部楼层
本帖最后由 wsc810 于 2021-6-21 20:37 编辑

素数41

  1. PrimitiveRootList[41]
复制代码


{6, 7, 11, 12, 13, 15, 17, 19, 22, 24, 26, 28, 29, 30, 34, 35}

  1. PowerMod[{6, 11, 12, 13, 17, 22, 26, 34}, -1, 41]
复制代码


{7, 15, 24, 19, 29, 28, 30, 35}

{6,7}{11,15}{12,24}{12,24}{13,19}{17,29}{22,28}{26,30}{34,35}


假如我们将素数的所有原根按照首尾顺序排列成一个圆圈,然后将${a_i,b_i}$连接起来,怎么用Mathematica作图
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
您需要登录后才可以回帖 登录 | 欢迎注册

本版积分规则

小黑屋|手机版|数学研发网 ( 苏ICP备07505100号 )

GMT+8, 2021-7-29 16:39 , Processed in 0.208608 second(s), 17 queries .

Powered by Discuz! X3.4

© 2001-2017 Comsenz Inc.

快速回复 返回顶部 返回列表