请教一道IMO42-6数论题目
设a,b,c,d为整数，且a>b>c>d和ac+bd=(b+d+a-c)(b+d-a+c)求证：ab+cd 不是素数。
这道题有多个证明方法，我想请教的是两个方面：
据说当初有个美国选手利用了复数来证明，他是利用了三次方根$\omega$的性质，构造了数组$1,-1,\omega,-\omega,\omega^2,-\omega^2$，“杀鸡用牛刀”，“用到了一种叫做环域的思想”。
这是《美国奥数生》上的原话，但没有具体方法，我想请问大家是否了解这种证明方法？
然后在答案中提到，满足题目的四元数组为(21,18,14,1)和(65,50,34,11).要是能够快速证明只有这两组解以及找出这两组解，也不失为一种好的证明方法。请问大家有什么好的方法找出这两组解吗？ 试了一下，确实可用Eisenstein Integer解决该问题，不过思路并不十分显然。
你先了解一下Eisenstein Integer（爱森斯坦整数），否则这种解法你看不懂（光看这个链结的内容还不够）。 好的，能够把解法列出来吗？
另外还有一个美国选手刘天凯：将a、b、c、d这四个数字表示成另外四个数字j、k、m、n，接着他证明这些新的数字相乘之后会得到一个非质数的结果，这样也就表明ab+cd不是质数。（但他没有做完，不够时间）
这又是怎样的做法呢 先看看这个帖子。 先看看这个帖子。
hujunhua 发表于 2011-7-28 18:06 http://bbs.emath.ac.cn/images/common/back.gif
好的，我先看看 4# hujunhua
为什么你的介绍中ω是六次单位根？而这里的介绍是三次：
http://zh.wikipedia.org/zh-cn/%E8%89%BE%E6%A3%AE%E6%96%AF%E5%9D%A6%E6%95%B4%E6%95%B0
我看了你的解释，有点懂，两者能够表达一样的信息是吗？ 我在介绍有解释吧，当时是为了与郭先生的偏好保持一致。6次单位根与3次单位根生成的域（或者复整数环）是相同的。
不该让你看那帖的，忘了其中的不规范处。但愿你不要被搅糊涂了。
我下面给出的解答中，使用的是3次单位根。你先看看，不懂的自己先捉摸捉摸。
不知道那个美国学生是不是这么做的，要是能搜出来印证一下就爽了。 那么这种方法可以帮我们找出满足题目的具体解吗？ 不知道那个美国学生是不是这么做的，要是能搜出来印证一下就爽了。
hujunhua 发表于 2011-7-28 21:55 http://bbs.emath.ac.cn/images/common/back.gif
大概是
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