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[讨论] 请教一道IMO42-6数论题目

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发表于 2011-7-27 16:23:29 | 显示全部楼层 |阅读模式

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设$a,b,c,d$为整数,且$a>b>c>d$和$ac+bd=(b+d+a-c)(b+d-a+c)$
求证:$ab+cd$ 不是素数。

这道题有多个证明方法,我想请教的是两个方面:
据说当初有个美国选手利用了复数来证明,他是利用了三次方根$\omega$的性质,构造了数组$1,-1,\omega,-\omega,\omega^2,-\omega^2$,“杀鸡用牛刀”,“用到了一种叫做环域的思想”。
这是《美国奥数生》上的原话,但没有具体方法,我想请问大家是否了解这种证明方法?

然后在答案中提到,满足题目的四元数组为(21,18,14,1)和(65,50,34,11).要是能够快速证明只有这两组解以及找出这两组解,也不失为一种好的证明方法。请问大家有什么好的方法找出这两组解吗?
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2011-7-28 09:11:40 | 显示全部楼层
试了一下,确实可用Eisenstein Integer解决该问题,不过思路并不十分显然。
你先了解一下Eisenstein Integer(爱森斯坦整数),否则这种解法你看不懂(光看这个链结的内容还不够)。
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 楼主| 发表于 2011-7-28 14:04:56 | 显示全部楼层
好的,能够把解法列出来吗?

另外还有一个美国选手刘天凯:将a、b、c、d这四个数字表示成另外四个数字j、k、m、n,接着他证明这些新的数字相乘之后会得到一个非质数的结果,这样也就表明ab+cd不是质数。(但他没有做完,不够时间)

这又是怎样的做法呢
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发表于 2011-7-28 18:06:13 | 显示全部楼层
先看看这个帖子
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 楼主| 发表于 2011-7-28 20:33:40 | 显示全部楼层
先看看这个帖子。
hujunhua 发表于 2011-7-28 18:06

好的,我先看看
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 楼主| 发表于 2011-7-28 20:58:44 | 显示全部楼层
4# hujunhua


为什么你的介绍中ω是六次单位根?而这里的介绍是三次:
http://zh.wikipedia.org/zh-cn/%E ... 6%E6%95%B4%E6%95%B0

我看了你的解释,有点懂,两者能够表达一样的信息是吗?
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发表于 2011-7-28 21:49:07 | 显示全部楼层
我在介绍有解释吧,当时是为了与郭先生的偏好保持一致。6次单位根与3次单位根生成的域(或者复整数环)是相同的。
不该让你看那帖的,忘了其中的不规范处。但愿你不要被搅糊涂了。

我下面给出的解答中,使用的是3次单位根。你先看看,不懂的自己先捉摸捉摸。
无标题.jpg
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发表于 2011-7-28 21:55:36 | 显示全部楼层
不知道那个美国学生是不是这么做的,要是能搜出来印证一下就爽了。
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 楼主| 发表于 2011-7-29 08:30:48 | 显示全部楼层
那么这种方法可以帮我们找出满足题目的具体解吗?
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 楼主| 发表于 2011-7-29 08:38:04 | 显示全部楼层
不知道那个美国学生是不是这么做的,要是能搜出来印证一下就爽了。
hujunhua 发表于 2011-7-28 21:55

大概是
5.gif
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