请教一道IMO42-6数论题目

282842712474

设$a,b,c,d$为整数，且$a>b>c>d$和$ac+bd=(b+d+a-c)(b+d-a+c)$ 求证：$ab+cd$ 不是素数。 这道题有多个证明方法，我想请教的是两个方面： 据说当初有个美国选手利用了复数来证明，他是利用了三次方根$\omega$的性质，构造了数组$1,-1,\omega,-\omega,\omega^2,-\omega^2$，“杀鸡用牛刀”，“用到了一种叫做环域的思想”。 这是《美国奥数生》上的原话，但没有具体方法，我想请问大家是否了解这种证明方法？ 然后在答案中提到，满足题目的四元数组为(21,18,14,1)和(65,50,34,11).要是能够快速证明只有这两组解以及找出这两组解，也不失为一种好的证明方法。请问大家有什么好的方法找出这两组解吗？

hujunhua

试了一下，确实可用Eisenstein Integer解决该问题，不过思路并不十分显然。 你先了解一下Eisenstein Integer（爱森斯坦整数），否则这种解法你看不懂（光看这个链结的内容还不够）。

282842712474

好的，能够把解法列出来吗？ 另外还有一个美国选手刘天凯：将a、b、c、d这四个数字表示成另外四个数字j、k、m、n，接着他证明这些新的数字相乘之后会得到一个非质数的结果，这样也就表明ab+cd不是质数。（但他没有做完，不够时间） 这又是怎样的做法呢

hujunhua

先看看这个帖子。

282842712474

先看看这个帖子。 hujunhua 发表于 2011-7-28 18:06

好的，我先看看

282842712474

4# hujunhua 为什么你的介绍中ω是六次单位根？而这里的介绍是三次： http://zh.wikipedia.org/zh-cn/%E ... 6%E6%95%B4%E6%95%B0 我看了你的解释，有点懂，两者能够表达一样的信息是吗？

hujunhua

我在介绍有解释吧，当时是为了与郭先生的偏好保持一致。6次单位根与3次单位根生成的域（或者复整数环）是相同的。 不该让你看那帖的，忘了其中的不规范处。但愿你不要被搅糊涂了。 我下面给出的解答中，使用的是3次单位根。你先看看，不懂的自己先捉摸捉摸。

hujunhua

不知道那个美国学生是不是这么做的，要是能搜出来印证一下就爽了。

282842712474

那么这种方法可以帮我们找出满足题目的具体解吗？

282842712474

不知道那个美国学生是不是这么做的，要是能搜出来印证一下就爽了。 hujunhua 发表于 2011-7-28 21:55

大概是