论坛 › 难题征解 › 圆内接五边形的面积公式

数学星空 发表于 2011-10-20 20:46:22

在7＃中已明确得到了有关x,y的表达式(7次方程的实根)，R可以由(1)式计算得到，面积S当然也就可以轻易算出
注：7次代数方程好像不能用椭圆函数表达！

wayne 发表于 2011-10-21 08:47:07

10# zeroieme
根据9楼也 可以得到其解是根式解 。
把 正弦消去 ，是 五个 平方 根式 的和 ，关于R的一元方程
\sqrt{4R^2a^2-a^4}+\sqrt{4R^2b^2-b^4}+\sqrt{4R^2c^2-c^4}+\sqrt{4R^2d^2-d^4}+\sqrt{4R^2e^2-e^4}=4S

这个去平方化就跟   数学星空 是一致的

wayne 发表于 2011-10-21 08:57:16

11# 数学星空
:victory:，zeroieme 没有深入计算， 是在说 一元5+次方程的一般解 可以借助椭圆函数来表示 。

zeroieme 发表于 2011-10-21 18:14:13

在7＃中已明确得到了有关x,y的表达式(7次方程的实根)，R可以由(1)式计算得到，面积S当然也就可以轻易算出
注：7次代数方程好像不能用椭圆函数表达！
数学星空 发表于 2011-10-20 20:46 http://bbs.emath.ac.cn/images/common/back.gif

这里有两种分割五边形的方式。x,y与圆心角。
x,y为辅元的方程是多项式方程，多元多项式方程组可以消元为一元多项式方程。
http://w3.math.sinica.edu.tw/math_media/d271/27107.pdf


我第一反应是圆心角方式，看来还是x,y方式简单。

数学星空 发表于 2011-10-21 21:43:39

10# zeroieme
根据9楼也 可以得到其解是根式解 。
把 正弦消去 ，是 五个 平方 根式 的和 ，关于R的一元方程
\sqrt{4R^2a^2-a^4}+\sqrt{4R^2b^2-b^4}+\sqrt{4R^2c^2-c^4}+\sqrt{4R^2d^2-d^4}+\sqrt{4R^2e^2 ...
wayne 发表于 2011-10-21 08:47 http://bbs.emath.ac.cn/images/common/back.gif
你能用数学软件计算出结果吗?(我的电脑算不出,去掉五个根号)

zeroieme 发表于 2011-10-24 00:15:01

妄图把$S=1/(4*R)*(a*b*x+c*x*y+e*d*y)$加入方程组，期望得到 S和五边的多项式方程。结果把可怜的CPU算爆了

wayne 发表于 2011-10-24 10:04:28

15# 数学星空
可以想象得到难度会很大。
下班回家了我试试。

数学星空 发表于 2011-10-24 23:03:27

那怕用最简式展开对一般的电脑来说可能无能为力:6^32 ~~7.9586611099464008844*10^24
\((\sqrt{a_1}+\sqrt{a_2}+\sqrt{a_3}+\sqrt{a_4}+\sqrt{a_5}-x)(\sqrt{a_1}+\sqrt{a_2}+\sqrt{a_3}+\sqrt{a_4}-\sqrt{a_5}-x)(\sqrt{a_1}+\sqrt{a_2}+\sqrt{a_3}-\sqrt{a_4}+\sqrt{a_5}-x)(\sqrt{a_1}+\sqrt{a_2}+\sqrt{a_3}-\sqrt{a_4}-\sqrt{a_5}-x)(\sqrt{a_1}+\sqrt{a_2}-\sqrt{a_3}+\sqrt{a_4}+\sqrt{a_5}-x)(\sqrt{a_1}+\sqrt{a_2}-\sqrt{a_3}+\sqrt{a_4}-\sqrt{a_5}-x)(\sqrt{a_1}+\sqrt{a_2}-\sqrt{a_3}-\sqrt{a_4}+\sqrt{a_5}-x)(\sqrt{a_1}+\sqrt{a_2}-\sqrt{a_3}-\sqrt{a_4}-\sqrt{a_5}-x)(\sqrt{a_1}-\sqrt{a_2}+\sqrt{a_3}+\sqrt{a_4}+\sqrt{a_5}-x)(\sqrt{a_1}-\sqrt{a_2}+\sqrt{a_3}+\sqrt{a_4}-\sqrt{a_5}-x)(\sqrt{a_1}-\sqrt{a_2}+\sqrt{a_3}-\sqrt{a_4}+\sqrt{a_5}-x)(\sqrt{a_1}-\sqrt{a_2}+\sqrt{a_3}-\sqrt{a_4}-\sqrt{a_5}-x)(\sqrt{a_1}-\sqrt{a_2}-\sqrt{a_3}+\sqrt{a_4}+\sqrt{a_5}-x)(\sqrt{a_1}-\sqrt{a_2}-\sqrt{a_3}+\sqrt{a_4}-\sqrt{a_5}-x)(\sqrt{a_1}-\sqrt{a_2}-\sqrt{a_3}-\sqrt{a_4}+\sqrt{a_5}-x)(\sqrt{a_1}-\sqrt{a_2}-\sqrt{a_3}-\sqrt{a_4}-\sqrt{a_5}-x)(-\sqrt{a_1}+\sqrt{a_2}+\sqrt{a_3}+\sqrt{a_4}+\sqrt{a_5}-x)(-\sqrt{a_1}+\sqrt{a_2}+\sqrt{a_3}+\sqrt{a_4}-\sqrt{a_5}-x)(-\sqrt{a_1}+\sqrt{a_2}+\sqrt{a_3}-\sqrt{a_4}+\sqrt{a_5}-x)(-\sqrt{a_1}+\sqrt{a_2}+\sqrt{a_3}-\sqrt{a_4}-\sqrt{a_5}-x)(-\sqrt{a_1}+\sqrt{a_2}-\sqrt{a_3}+\sqrt{a_4}+\sqrt{a_5}-x)(-\sqrt{a_1}+\sqrt{a_2}-\sqrt{a_3}+\sqrt{a_4}-\sqrt{a_5}-x)(-\sqrt{a_1}+\sqrt{a_2}-\sqrt{a_3}-\sqrt{a_4}+\sqrt{a_5}-x)(-\sqrt{a_1}+\sqrt{a_2}-\sqrt{a_3}-\sqrt{a_4}-\sqrt{a_5}-x)(-\sqrt{a_1}-\sqrt{a_2}+\sqrt{a_3}+\sqrt{a_4}+\sqrt{a_5}-x)(-\sqrt{a_1}-\sqrt{a_2}+\sqrt{a_3}+\sqrt{a_4}-\sqrt{a_5}-x)(-\sqrt{a_1}-\sqrt{a_2}+\sqrt{a_3}-\sqrt{a_4}+\sqrt{a_5}-x)(-\sqrt{a_1}-\sqrt{a_2}+\sqrt{a_3}-\sqrt{a_4}-\sqrt{a_5}-x)(-\sqrt{a_1}-\sqrt{a_2}-\sqrt{a_3}+\sqrt{a_4}+\sqrt{a_5}-x)(-\sqrt{a_1}-\sqrt{a_2}-\sqrt{a_3}+\sqrt{a_4}-\sqrt{a_5}-x)(-\sqrt{a_1}-\sqrt{a_2}-\sqrt{a_3}-\sqrt{a_4}+\sqrt{a_5}-x)(-\sqrt{a_1}-\sqrt{a_2}-\sqrt{a_3}-\sqrt{a_4}-\sqrt{a_5}-x)\)

zeroieme 发表于 2011-10-25 00:11:13

那怕用最简式展开对一般的电脑来说可能无能为力:6^32 ~~7.9586611099464008844*10^24
(sqrt(a1)+sqrt(a2)+sqrt(a3)+sqrt(a4)+sqrt(a5)-x)*(sqrt(a1)+sqrt(a2)+sqrt(a3)+sqrt(a4)-sqrt(a5)-x)*(sqrt(a1)+sqrt(a2)+ ...
数学星空 发表于 2011-10-24 23:03 http://bbs.emath.ac.cn/images/common/back.gif

这个很多类似平方差公式，似乎有快捷算法。

zeroieme 发表于 2011-10-25 00:55:21

18# 数学星空
mathematica 730秒
1.2G，默认只开了一核

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