三角形中的最值问题
非常有探讨价值的问题！已知平面上有三个动点A,B,C及一个定点P,且满足AP=x,BP=y,CP=z.(1)求三角形ABC的最大面积值S?
(2)求三角形各边长之和(L=a+b+c)的最大值? 设AP与BP的夹角为C，BP与CP的夹角为A，CP与AP的夹角为B，
S为最大时，P点应该在三角形ABC的内部。
这时$S=1/2*xyz*(sinA/x+sinB/y+sinC/z)$
当$cosA/x=cosB/y=cosC/z$时，S取极值,设该比值=k。
那么k满足：$2xyz*k^3+(x^2+y^2+z^2)*k^2-1=0$
极值$S=1/2*xyz*(sqrt(1/x^2-k^2)+sqrt(1/y^2-k^2)+sqrt(1/z^2-k^2))$ k满足：$2xyz*k^3+(x^2+y^2+z^2)*k^2-1=0$
应该是$2xyz*k^3-(x^2+y^2+z^2)*k^2+1=0$ \(2xyzk^3-(x^2+y^2+z^2)k^2+1=0\)
等价于:已知\(A+B+C=2\pi\),求证: \(\cos(A)^2+\cos(B)^2+\cos(C)^2=2\cos(A)\cos(B)\cos(C)+1\)
由于\(2\cos(A)\cos(B)\cos(C)=2\cos(A)\cos(B)(\cos(A)\cos(B)-\sin(A)\sin(B))=2\cos(A)^2\cos(B)^2-\frac{\sin(2A)\sin(2B)}{2}\)
则有
\(\cos(A)^2+\cos(B)^2+\cos(C)^2=\cos(A)^2+\cos(B)^2+\cos(A)^2\cos(B)^2+\sin(A)^2\sin(B)^2-\frac{\sin(2A)\sin(2B)}{2}\)
\(=\cos(A)^2+\cos(B)^2+\cos(A)^2\cos(B)^2+1-\cos(A)^2-\cos(B)^2+\cos(A)^2\cos(B)^2-\frac{\sin(2A)\sin(2B)}{2}=1+2\cos(A)\cos(B)\cos(C)\) 对于第(2)个问题:
可以转化为:已知alpha+beta+gamma=2*pi,求L=sqrt(z^2+y^2-2*z*y*cos(alpha))+sqrt(x^2+z^2-2*x*z*cos(beta))+sqrt(x^2+y^2-2*x*y*cos(gamma))的最大值? 分别对alpha,beta求导得:
(y*z*sin(alpha))/(sqrt(y^2+z^2-2*y*z*cos(alpha)))+(y*x*sin(alpha+beta))/(sqrt(y^2+x^2-2*y*x*cos(alpha+beta)))=0 ......(2)
(x*z*sin(beta))/(sqrt(x^2+z^2-2*x*z*cos(beta)))+(y*x*sin(alpha+beta))/(sqrt(y^2+x^2-2*y*x*cos(alpha+beta)))=0 ......(3) 对(2),(3)式消元得到:
\((z^2+zx^2+xy+2zxy+zy^2)(-z^2+zx^2+2zxy-xy+zy^2)(-z^2+zx^2-2zxy+xy+zy^2)(z^2+zx^2-2zxy-xy+zy^2)+\)
\((8y^4x^4+8z^8-8y^6z^4+4z^4x^4-8y^4x^2z^2+4z^4y^4-8x^2z^6+8y^6x^2z^2-8y^2z^6-16y^2x^2z^6+8x^4z^6+8y^4z^6+8y^2x^4z^4+8y^2x^6z^2-8y^2x^4z^2+8y^4x^2z^4+8x^2z^4y^2-8x^6z^4-16y^4x^4z^2)k^2+\)
\(6(y-z)^2(y+z)^2(-z+x)^2(x+z)^2k^4=0\) 还有一个因式,表达式很长(可能没有实根?) ,14次方程....
剩下的运算就很简单了
cos(alpha)=(k^2-sqrt((y^2-k^2)*(z^2-k^2)))/(y*z)
cos(beta)=(k^2-sqrt((x^2-k^2)*(z^2-k^2)))/(x*z)
cos(gamma)=(k^2-sqrt((x^2-k^2)*(y^2-k^2)))/(x*y)
再代入L的表达式即可求得 根据8#的结果可以化简得到:
L=2*(sqrt(x^2-k^2)+sqrt(y^2-k^2)+sqrt(z^2-k^2)) 第1问 面积最大时P显然为ΔABC的垂心。
BCP暂时固定，那么只有PA⊥BC时，ΔABC的面积最大。
同理，ΔABC的面积最大时应有 PB⊥AC，PC⊥AB。
第2问 换个提法：3个顶点在三个圆上滑动。根据费玛原理，周长最长和最短的三角形是光线三角形。
那么三圆同心时，P应该是ΔABC的内心。