三角形中的最值问题

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已知平面上有三个动点$A,B,C$及一个定点$P$,且满足$AP=x,BP=y,CP=z$.
(1)求三角形ABC的最大面积值$S$?
(2)求三角形各边长之和($L=a+b+c$)的最大值?

056254628

设AP与BP的夹角为C，BP与CP的夹角为A，CP与AP的夹角为B，
S为最大时，P点应该在三角形ABC的内部。
这时$S=1/2*xyz*(sinA/x+sinB/y+sinC/z)$
当$cosA/x=cosB/y=cosC/z$时，S取极值,设该比值=k。
那么k满足：$2xyz*k^3+(x^2+y^2+z^2)*k^2-1=0$
极值$S=1/2*xyz*(sqrt(1/x^2-k^2)+sqrt(1/y^2-k^2)+sqrt(1/z^2-k^2))$

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k满足：$2xyz*k^3+(x^2+y^2+z^2)*k^2-1=0$
应该是$2xyz*k^3-(x^2+y^2+z^2)*k^2+1=0$

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\(2xyzk^3-(x^2+y^2+z^2)k^2+1=0\)

等价于:已知\(A+B+C=2\pi\),求证: \(\cos(A)^2+\cos(B)^2+\cos(C)^2=2\cos(A)\cos(B)\cos(C)+1\)

由于\(2\cos(A)\cos(B)\cos(C)=2\cos(A)\cos(B)(\cos(A)\cos(B)-\sin(A)\sin(B))=2\cos(A)^2\cos(B)^2-\frac{\sin(2A)\sin(2B)}{2}\)

则有

\(\cos(A)^2+\cos(B)^2+\cos(C)^2=\cos(A)^2+\cos(B)^2+\cos(A)^2\cos(B)^2+\sin(A)^2\sin(B)^2-\frac{\sin(2A)\sin(2B)}{2}\)

\(=\cos(A)^2+\cos(B)^2+\cos(A)^2\cos(B)^2+1-\cos(A)^2-\cos(B)^2+\cos(A)^2\cos(B)^2-\frac{\sin(2A)\sin(2B)}{2}=1+2\cos(A)\cos(B)\cos(C)\)

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对于第(2)个问题:
可以转化为:已知$alpha+beta+gamma=2*pi$,求$L=sqrt(z^2+y^2-2*z*y*cos(alpha))+sqrt(x^2+z^2-2*x*z*cos(beta))+sqrt(x^2+y^2-2*x*y*cos(gamma))$的最大值?

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分别对$alpha,beta$求导得:
$(y*z*sin(alpha))/(sqrt(y^2+z^2-2*y*z*cos(alpha)))+(y*x*sin(alpha+beta))/(sqrt(y^2+x^2-2*y*x*cos(alpha+beta)))=0$ ......(2)
$(x*z*sin(beta))/(sqrt(x^2+z^2-2*x*z*cos(beta)))+(y*x*sin(alpha+beta))/(sqrt(y^2+x^2-2*y*x*cos(alpha+beta)))=0$ ......(3)

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对(2),(3)式消元得到:

\((z^2+zx^2+xy+2zxy+zy^2)(-z^2+zx^2+2zxy-xy+zy^2)(-z^2+zx^2-2zxy+xy+zy^2)(z^2+zx^2-2zxy-xy+zy^2)+\)

\((8y^4x^4+8z^8-8y^6z^4+4z^4x^4-8y^4x^2z^2+4z^4y^4-8x^2z^6+8y^6x^2z^2-8y^2z^6-16y^2x^2z^6+8x^4z^6+8y^4z^6+8y^2x^4z^4+8y^2x^6z^2-8y^2x^4z^2+8y^4x^2z^4+8x^2z^4y^2-8x^6z^4-16y^4x^4z^2)k^2+\)

\(6(y-z)^2(y+z)^2(-z+x)^2(x+z)^2k^4=0\)

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还有一个因式,表达式很长(可能没有实根?) ,14次方程....

剩下的运算就很简单了
$cos(alpha)=(k^2-sqrt((y^2-k^2)*(z^2-k^2)))/(y*z)$
$cos(beta)=(k^2-sqrt((x^2-k^2)*(z^2-k^2)))/(x*z)$
$cos(gamma)=(k^2-sqrt((x^2-k^2)*(y^2-k^2)))/(x*y)$

再代入L的表达式即可求得

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根据8#的结果可以化简得到:
$L=2*(sqrt(x^2-k^2)+sqrt(y^2-k^2)+sqrt(z^2-k^2))$

hujunhua

第1问，面积最大时P为ΔABC的垂心。
第2问，周长最大时P为ΔABC的内心。

第1个力学模型是ΔABC的三边为充分长的滑杆，套在顶点上可以无摩擦滑动。三角形放在充分大的水面上，三角形内部水面滴有表面活性剂使表面张力降低很多，滑杆在外部水面的张力作用下达到静力平衡时系统自由能最低，即ΔABC的面积最大（使外部张力较大的水面面积最小）。由静力平衡条件易得P为ΔABC的垂心。

第2个力学模型△ABC绷上一圈橡皮筋，橡皮筋可沿顶点A,B,C无摩擦滑动。当橡皮筋被拉伸到最长时，系统处于自由能最大状态，即处于一种最不稳定的静力平衡。由静力平衡条件易得P是△ABC的内心。