三角形中的最值问题

hujunhua

@056254628 另一种最有效率的三角形定义为面积与周长的平方之比最大者，在合适的条件下是正三角形。合适的条件就是那3个距离可构成三角形。

chyanog

最大面积的Mathematica表示：
With[{k=Root[1+(-x^2-y^2-z^2) #^2+2 x y z #^3&,1]}, 1/2 (y z Sqrt[1-x^2 k^2]+x z Sqrt[1-y^2 k^2]+x y Sqrt[1-z^2 k^2])]
或
Sqrt[Root[x^8 y^4-2 x^6 y^6+x^4 y^8-2 x^8 y^2 z^2+2 x^6 y^4 z^2+2 x^4 y^6 z^2-2 x^2 y^8 z^2+x^8 z^4+2 x^6 y^2 z^4-6 x^4 y^4 z^4+2 x^2 y^6 z^4+y^8 z^4-2 x^6 z^6+2 x^4 y^2 z^6+2 x^2 y^4 z^6-2 y^6 z^6+x^4 z^8-2 x^2 y^2 z^8+y^4 z^8+(-8 x^6 y^2+32 x^4 y^4-8 x^2 y^6-8 x^6 z^2-16 x^4 y^2 z^2-16 x^2 y^4 z^2-8 y^6 z^2+32 x^4 z^4-16 x^2 y^2 z^4+32 y^4 z^4-8 x^2 z^6-8 y^2 z^6) #1+(16 x^4-160 x^2 y^2+16 y^4-160 x^2 z^2-160 y^2 z^2+16 z^4) #1^2+256 #1^3&,3]]

最大周长：
With[{k=Root[-x^2 y^2 z^2+(x^2 y^2+x^2 z^2+y^2 z^2) #^2+2 x y z #^3&,3]}, 2 (Sqrt[x^2-k^2]+Sqrt[y^2-k^2]+Sqrt[z^2-k^2])]
或
Sqrt[Root[16 x^8 y^4-32 x^6 y^6+16 x^4 y^8-32 x^8 y^2 z^2+32 x^6 y^4 z^2+32 x^4 y^6 z^2-32 x^2 y^8 z^2+16 x^8 z^4+32 x^6 y^2 z^4-96 x^4 y^4 z^4+32 x^2 y^6 z^4+16 y^8 z^4-32 x^6 z^6+32 x^4 y^2 z^6+32 x^2 y^4 z^6-32 y^6 z^6+16 x^4 z^8-32 x^2 y^2 z^8+16 y^4 z^8+(-8 x^6 y^4-8 x^4 y^6+32 x^6 y^2 z^2-16 x^4 y^4 z^2+32 x^2 y^6 z^2-8 x^6 z^4-16 x^4 y^2 z^4-16 x^2 y^4 z^4-8 y^6 z^4-8 x^4 z^6+32 x^2 y^2 z^6-8 y^4 z^6) #1+(x^4 y^4-10 x^4 y^2 z^2-10 x^2 y^4 z^2+x^4 z^4-10 x^2 y^2 z^4+y^4 z^4) #1^2+x^2 y^2 z^2 #1^3&,3]]

数学星空

当\(n=3\)时

\[2s=xy\sin(\gamma)+yz\sin(\alpha)+xz\sin(\beta)\]．．．．．．．(1)

求导易得：

\[\frac{\cos(\alpha)}{x}=\frac{\cos(\beta)}{y}=\frac{\cos(\gamma)}{z}\]．．．．．．(2)

由于\(P\)为垂心时，

\[\alpha=\pi-\angle A,\beta=\pi-\angle B,\gamma=\pi-\angle C\].．．．．．(3)

则(2)式化为：

\[\frac{\cos(A)}{x}=\frac{\cos(B)}{y}=\frac{\cos(C)}{z}\].．．．．．(4)

此时\(P\)点即为垂心，且\(s\)取最大值．

\[L=\sqrt{x^2+y^2-2xy\sin(\gamma)}+\sqrt{y^2+z^2-2yz\sin(\alpha)}+\sqrt{x^2+z^2-2xz\sin(\beta)}\].．．．．．(5)

求导易得：

\[\frac{yz\sin(\alpha)}{a}=\frac{xz\sin(\beta)}{b}=\frac{xy\sin(\gamma)}{c}\].．．．．．．．(6)

由面积公式上式可化为：

\[\frac{s_{BPC}}{a}=\frac{s_{APC}}{b}=\frac{s_{APB}}{c}=r\].．．．．．．．．．．(7)

即点\(P\)为内心时，周长\(L\)取值大值．

数学星空

当\(n=4\)时

设各边长依次为\(a,b,c,d\),\(P\)对各边的张角依次为

\(\alpha,\beta,\gamma,\delta\),且\(PA=x,PB=y,PC=z,PD=u\)

对面积：

\(2s=xy\sin(\alpha)+yz\sin(\beta)+zu\sin(\gamma)+ux\sin(\delta)\)

求导易得：

\(xy\cos(\alpha)=yz\cos(\beta)=zu\cos(\gamma)=ux\cos(\delta)\)

则有：

\(\alpha=\beta=\gamma=\delta=\frac{\pi}{2}\)

时\(s=\frac{1}{2}(xy+yz+zu+ux)\)取最大值


对周长：

\[L=\sqrt{x^2+y^2-2xy\cos(\alpha)}+\sqrt{y^2+z^2-2yz\cos(\beta)}+\sqrt{z^2+u^2-2zu\cos(\gamma)}+\sqrt{x^2+u^2-2xu\cos(\delta)}\]

求导易得：

\[\frac{xy\sin(\alpha)}{a}=\frac{yz\sin(\beta)}{b}=\frac{zu\sin(\gamma)}{c}=\frac{ux\sin(\delta)}{d}\]

由面积公式得：

\[\frac{s_{APB}}{a}=\frac{s_{BPC}}{b}=\frac{s_{CPD}}{c}=\frac{s_{DPA}}{d}=r\]

即\(Ｐ\)为内心，且得到\(a+c=b+d=\frac{L}{2}\)

不妨设

\[a=m+n,b=n+p,c=p+q,d=q+m\]

有

\[\sqrt{x^2-r^2}+\sqrt{y^2-r^2}=a\]

\[\sqrt{y^2-r^2}+\sqrt{z^2-r^2}=b\]

\[\sqrt{z^2-r^2}+\sqrt{u^2-r^2}=c\]

\[\sqrt{u^2-r^2}+\sqrt{x^2-r^2}=d\]

易知当\(r\to 0\)时，\(L \to  2(x+y+z+u)\) 取极大值

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对于\(n=4\)时，且\(ＰA,PB,PC,PD\)不共面时，即\(ABCD\)为四面体的各棱长和取最大值的条件见：

http://bbs.emath.ac.cn/forum.php ... 86&fromuid=1455

当 定长\(PA ,PB, PC, PD\) 构成的四面体各条棱边长最大时即\((AB+AC+BC+DA+DB+DC)_{\max}\)，设\(\triangle ABC,\triangle DBC,\triangle DAC,\triangle DAB\)的内心分别为\(P_0,P_1,P_2,P_3\)

\(P\)点即为\(AP_1\cap BP_2 \cap CP_3  \cap DP_0\)  

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根据楼上结论可设：

\(A(x_1, y_1, z_1), B(x_2, y_2, z_3), C(x_3, y_3, z_3), D(x_0, y_0, z_0)\)

\(I_0(x_{11}, y_{11}, z_{11}), I_1(x_{10}, y_{10}, z_{10}), I_2(x_{20}, y_{20}, z_{20}), I_3(x_{30}, y_{30}, z_{30}), P(0, 0, 0)\)

\(AB = c, AC = b, AD = a_1, BC = a, BD = b_1, CD = c_1\)

\(\triangle ABC\) 内心 \(I_0\), \(\triangle ABD\) 内心 \(I_3\), \(\triangle ACD\) 内心 \(I_2\), \(\triangle BCD\) 内心 \(I_1\)

可得到下列方程：

\(k_0x_0 = \frac{ax_1+bx_2+cx_3}{a+b+c}\)

\(k_0y_0 = \frac{ay_1+by_2+cy_3}{a+b+c}\)

\(k_0z_0 = \frac{az_1+bz_2+cz_3}{a+b+c}\)

\(k_1x_1 = \frac{ax_0+b_1x_3+c_1x_2}{a+b_1+c_1}\)

\(k_1y_1 = \frac{ay_0+b_1y_3+c_1y_2}{a+b_1+c_1}\)

\(k_1z_1 = \frac{az_0+b_1z_3+c_1z_2}{a+b_1+c_1}\)

\(k_2x_2 = \frac{a_1x_3+bx_0+c_1x_1}{a_1+b+c_1}\)

\(k_2y_2 = \frac{a_1y_3+by_0+c_1y_1}{a_1+b+c_1}\)

\(k_2z_2 = \frac{a_1z_3+bz_0+c_1z_1}{a_1+b+c_1}\)

\(k_3x_3 = \frac{a_1x_2+b_1x_1+cx_0}{a_1+b_1+c}\)

\(k_3y_3 = \frac{a_1y_2+b_1y_1+cy_0}{a_1+b_1+c}\)

\(k_3z_3 = \frac{a_1z_2+b_1z_1+cz_0}{a_1+b_1+c}\)

\(x_0^2+y_0^2+z_0^2 = u^2\)

\(x_1^2+y_1^2+z_1^2 = x^2\)

\(x_2^2+y_2^2+z_2^2 = y^2\)

\(x_3^2+y_3^2+z_3^2 = z^2\)

\(a^2 = (x_2-x_3)^2+(y_2-y_3)^2+(z_2-z_3)^2\)

\(b^2 = (x_1-x_3)^2+(y_1-y_3)^2+(z_1-z_3)^2\)

\(c^2 = (x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2\)

\(a_1^2 = (x_0-x_1)^2+(y_0-y_1)^2+(z_0-z_1)^2\)

\(b_1^2 = (x_0-x_2)^2+(y_0-y_2)^2+(z_0-z_2)^2\)

\(c_1^2 = (x_0-x_3)^2+(y_0-y_3)^2+(z_0-z_3)^2\)

若取：

\(x = 3, y = 4, z = 5, u = 6\)

解得上述方程组，得到：

\(a = 7.296240846, a_1 = 7.374787895, b = 6.436574223, b_1 = 8.359762010, c = 5.633079407, c_1 = 9.552187140\)

\( k_0 = -0.2538712725, k_1 = -0.4295419047, k_2 = -0.3606779756, k_3 = -0.3020537869\)

\(x_0 = -5.367888653, x_1 = 1.027073438, x_2 = -.2983002272, x_3 = 3.695524296\)

\(y_0 = 2.524437675, y_1 = 1.230397184, y_2 = -3.927146938, y_3 = .6903579963\)

\(z_0 = -0.9016572689, z_1 = 2.535989535, z_2 = .6989520041, z_3 = -3.296438383\)

数学星空

1.如何检验上述计算结果是否正确？画图或者给出一组更好的结果？

2.如何简化上述32＃结论？

数学星空

TO wayne and chyanog 帮忙看看哪里有问题？

1. Factor[GroebnerBasis[Numerator[Together[ax[0]y[1]-ax[1]y[0]+bx[0]y2-bx[2]y[0]+cx[0]y[3]-cx[3]y[0], ax[0]z[1]-ax[1]z[0]+bx[0]z2-bx[2]z[0]+cx[0]z[3]-cx[3]z[0], ax[0]y[1]-ax[1]y[0]-b[1]x[1]y[3]+b[1]x[3]y[1]-c[1]x[1]y2+c[1]x[2]y[1], ax[0]z[1]-ax[1]z[0]-b[1]x[1]z[3]+b[1]x[3]z[1]-c[1]x[1]z2+c[1]x[2]z[1], a[1]x[2]y[3]-a[1]x[3]y2-bx[0]y2+bx[2]y[0]-c[1]x[1]y2+c[1]x[2]y[1], a[1]x[2]z[3]-a[1]x[3]z2-bx[0]z2+bx[2]z[0]-c[1]x[1]z2+c[1]x[2]z[1], a[1]x[2]y[3]-a[1]x[3]y2+b[1]x[1]y[3]-b[1]x[3]y[1]+cx[0]y[3]-cx[3]y[0], a[1]x[2]z[3]-a[1]x[3]z2+b[1]x[1]z[3]-b[1]x[3]z[1]+cx[0]z[3]-cx[3]z[0], a^2 - (x[2]-x[3])^2+(y2-y[3])^2+(z2-z[3])^2, a[1]^2 - (x[0]-x[1])^2+(y[0]-y[1])^2+(z[0]-z[1])^2, b^2 - (x[1]-x[3])^2+(y[1]-y[3])^2+(z[1]-z[3])^2, b[1]^2 - (x[0]-x[2])^2+(y[0]-y2)^2+(z[0]-z2)^2, c^2 - (x[2]-x[1])^2+(y2-y[1])^2+(z2-z[1])^2, c[1]^2 - (x[0]-x[3])^2+(y[0]-y[3])^2+(z[0]-z[3])^2, x[0]^2+y[0]^2+z[0]^2 - u^2, x[1]^2+y[1]^2+z[1]^2 - x^2, x[2]^2+y2^2+z2^2 - y^2, x[3]^2+y[3]^2+z[3]^2 - z^2]],{a,x,y,z,u},{x[0],y[0],z[0],x[1],y[1],z[1],x[2],y[2],z[2],x[3],y[3],z[3],b,c,a[1],b[1],c[1]},{MonomialOrder->EliminationOrder}]

复制代码

hujunhua

对于第1问，求最大面积，今天受另一贴的启示，发现了一个“P是三角形ABC的垂心”的漂亮几何证明.
连线PA，PB，PC将△ABC分割为三个小三角形，我们将这三个小三角形沿其所在的原三角形的边镜像出去，得到一个边长为x,x,y,y,z,z的六边形。
这个六边形的面积是原三角形面积的两倍。问题转化为求这个六边形的最大面积。
由斯坦纳等周定理，当这个六边形内接于一个圆时，面积最大。
那么P点就是△ABC外接圆沿三边的三个镜像的公共点，这正是垂心。

推论：由于面积最大时六边形为凸，故原三角形必为锐角三角形。

hujunhua

亦可将这三个小三角形沿其所在的原三角形的边中点镜像出去，得到一个边长为x,y,z,x,y,z的平行六边形。
同样，这个六边形面积最大时内接于圆，故它的三组平行且相等的对边各构成一个矩形的对边。
故P为原三角形的垂心。