三角形中的最值问题

数学星空

根据楼上 hujunhua 的提示:

设P点为\triangle ABC内心时,\(L=a+b+c\)最大,且设其内切圆半径为\(r\),则可以得到:

\(a=\sqrt{y^2-r^2}+\sqrt{z^2-r^2}\)

\(b=\sqrt{x^2-r^2}+\sqrt{z^2-r^2}\)

\(c=\sqrt{x^2-r^2}+\sqrt{y^2-r^2}\)

即有\(L=2(\sqrt{x^2-r^2}+\sqrt{y^2-r^2}+\sqrt{z^2-r^2})\) ,  \( r\)和楼上的\(k\)相等)

且\(r\) 满足:

\(r^2=(\frac{2S}{L})^2=\frac{\sqrt{(x^2-r^2)(y^2-r^2)(z^2-r^2)}}{\sqrt{x^2-r^2}+\sqrt{y^2-r^2}+\sqrt{z^2-r^2}}\) (5)

对(5)通过消元我们可以得到

\(2yxzr^3+(x^2y^2+x^2z^2+y^2z^2)r^2-x^2y^2z^2=0\)

令\(x=\frac{1}{x_1},y=\frac{1}{y_1},z=\frac{1}{z_1}\)得到

\(2x_1y_1z_1r^3+(x_1^2+y_1^2+z_1^2)r^2-1=0\) (与问题(1)似乎有些类似?)
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注记：

/forum.php?mod=redirect&goto=findpost&ptid=5059&pid=49763&fromuid=1455

中给出了如下结论：

(设三角形ABC内心为$I,IA=x,IB=y,IC=z$,三角形三边长为$a,b,c$)

$bc(b+c-a)=(a+b+c)x^2$

$ca(c+a-b)=(a+b+c)y^2$

$ab(a+b-c)=(a+b+c)z^2$

上面关于变量\(a,b,c\)的代数方程
   
\(x^2a^8+(-3x^2y^2-2x^2z^2+y^2z^2)a^6+(3x^2y^4+4x^2y^2z^2+x^2z^4-3y^4z^2-2y^2z^4)a^4+(-x^2y^6-2x^2y^4z^2-x^2y^2z^4+3y^6z^2+y^2z^6)a^2-y^8z^2+2y^6z^4-y^4z^6=0\)

\(y^2b^8+(-3x^2y^2+x^2z^2-2y^2z^2)b^6+(3x^4y^2-3x^4z^2+4x^2y^2z^2-2x^2z^4+y^2z^4)b^4+(-x^6y^2+3x^6z^2-2x^4y^2z^2-x^2y^2z^4+x^2z^6)b^2-x^8z^2+2z^4x^6-x^4z^6=0\)

\(z^2c^8+(x^2y^2-2x^2z^2-3y^2z^2)c^6+(-2x^4y^2+x^4z^2-3x^2y^4+4x^2y^2z^2+3y^4z^2)c^4+(x^6y^2-x^4y^2z^2+3x^2y^6-2x^2y^4z^2-y^6z^2)c^2-y^8x^2+2x^4y^6-x^6y^4=0\)

面积\(L=a+b+c\)

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最终的求解结果：

见/forum.php?mod=redirect&goto=findpost&ptid=5059&pid=52683&fromuid=1455

若内心\(I\)到三顶点的距离为\(x,y,z\),面积为\(s\),周长\(L\),则有结论：

  1.  \(16x^4y^4z^4s^6+(xy+xz+yz)(xy+xz-yz)(xy-xz-yz)(xy-xz+yz)(x^2y^2+x^2z^2+y^2z^2)^2s^4-2x^2y^2z^2(x^8y^6-x^8y^4z^2-x^8y^2z^4+x^8z^6+x^6y^8-4x^6y^6z^2+4x^6y^4z^4-4x^6y^2z^6+x^6z^8-x^4y^8z^2+4x^4y^6z^4+4x^4y^4z^6-x^4y^2z^8-x^2y^8z^4-4x^2y^6z^6-x^2y^4z^8+y^8z^6+y^6z^8)s^2+x^4z^4y^4(y-z)^2(y+z)^2(x-z)^2(x+z)^2(x-y)^2(x+y)^2＝0\)

  2.  \(y^2x^2z^2L^6+(x^4y^4-10x^4y^2z^2+x^4z^4-10x^2y^4z^2-10x^2y^2z^4+y^4z^4)L^4+(-8x^6y^4+32x^6y^2z^2-8x^6z^4-8x^4y^6-16x^4y^4z^2-16x^4y^2z^4-8x^4z^6+32x^2y^6z^2-16x^2y^4z^4+32x^2y^2z^6-8y^6z^4-8y^4z^6)L^2+16(y-z)^2(y+z)^2(x-z)^2(x+z)^2(x-y)^2(x+y)^2＝0\)

若外心\(O\)到三角形\(\triangle ABC\)三边的距离为\(x,y,z\)，面积为\(s\),周长\(L\),则有结论：
  
  1.  \(L^6-12(z+x+y)^2L^4+(-64x^4+64x^3y+64x^3z+64x^2y^2-128x^2yz+64x^2z^2+64xy^3-128xy^2z-128xyz^2+64xz^3-64y^4+64y^3z+64y^2z^2+64yz^3-64z^4)L^2+256(y-z)^2(x-z)^2(x-y)^2＝0\)

  2.  \(s^6+(x^4-10x^2y^2-10x^2z^2+y^4-10y^2z^2+z^4)s^4+(-8x^6y^2-8x^6z^2+32x^4y^4-16x^4y^2z^2+32x^4z^4-8x^2y^6-16x^2y^4z^2-16x^2y^2z^4-8x^2z^6-8y^6z^2+32y^4z^4-8y^2z^6)s^2+16(y-z)^2(y+z)^2(x-z)^2(x+z)^2(x-y)^2(x+y)^2＝0\)

056254628

如果扩充到空间上的三个动点结果又如何呢？

056254628

如果扩充为四个动点，乃至n个动点，求n边形的最大面积和最大周长，又如何？

数学星空

对于所有点在同一平面的一般情况(前面只讨论了N=3)
不知凸N边形的内心和垂心的定义如何?(N个顶点为定点,P点为动点)
本贴讨论的是 P为定点,N个顶点为动点的最值问题(可以简称动N边形的内心和垂心)

若所有点不在同一平面,可能情况相当复杂,即要讨论各种不同状态下的极值问题???

056254628

要讨论n边形的极值问题，还是让动点在球面上变动来的简单，不需要考虑共面，不共面等多种复杂的情况

数学星空

对于N=4的问题(1):
设$PA=x,PB=y,PC=z,PD=m,/_APB=alpha, /_BPC=beta ,/_CPD=gamma,/_DPA=delta $
已知$alpha+beta+gamma+delta=2*pi$
求:$S=1/2*(x*y*sin(alpha)+y*z*sin(beta)+z*m*sin(gamma)+m*x*sin(delta))$的最大值?

数学星空

$S$取极值条件:
$ y*cos(alpha)=m*cos(alpha+beta+gamma)$........(1)
$ y*z*cos(beta)=m*x*cos(alpha+beta+gamma)$.....(2)
$ z*cos(gamma)=x*cos(alpha+beta+gamma)$.........(3)

数学星空

对(1),(2),(3)消元$cos(alpha),cos(beta),cos(gamma)$得:
令$cos(alpha+beta+gamma)=p$
有$y^8*z^12*(m-y)^2*(m+y)^2*(x*y+m*x+m*z-y*z)*(-x*y+m*x-y*z-m*z)*(-x*y+m*x+m*z+y*z)*(x*y+m*x+y*z-m*z)+$
$8*m^2*x^2*y^8*z^10*(2*z^4*y^4*m^2+2*z^2*y^6*x^2-2*y^2*x^4*m^4-12*z^2*y^2*x^2*m^4-4*z^4*y^2*m^4+$
$y^4*x^4*m^2-z^2*y^4*x^2*m^2+m^6*x^4+3*z^2*x^2*m^6+2*z^4*m^6)*p^2-8*m^4*x^4*y^6*z^8*(-20*z^2*y^4*x^2*m^2+$
$2*z^4*y^6-z^4*y^4*m^2+y^6*x^4+3*z^2*y^6*x^2+3*z^4*m^6-3*y^2*x^4*m^4-25*z^2*y^2*x^2*m^4-12*z^4*y^2*m^4-$
$y^4*x^4*m^2+2*z^2*x^2*m^6+m^6*x^4)*p^4+8*m^6*x^6*y^4*z^6*(-6*y^4*x^4*m^2-51*z^2*y^4*x^2*m^2-$
$23*z^4*y^2*m^4-6*z^2*y^6*x^2+3*z^4*y^6-21*z^4*y^4*m^2+y^6*x^4-28*z^2*y^2*x^2*m^4+z^2*x^2*m^6+$
$z^4*m^6-3*y^2*x^4*m^4)*p^6+8*m^8*x^8*y^4*z^4*(7*z^4*y^4+2*m^4*x^4+15*m^4*z^2*x^2+25*m^4*z^4+8*m^2*y^2*x^4+$
$58*m^2*z^2*y^2*x^2+50*m^2*z^4*y^2+2*y^4*x^4+23*z^2*y^4*x^2)*p^8-32*m^10*x^10*y^2*z^2*($
$8*m^2*z^2*y^2*x^2+13*m^2*z^4*y^2+y^4*x^4+7*z^2*y^4*x^2+6*z^4*y^4+m^4*z^2*x^2+3*m^4*z^4+$
$m^2*y^2*x^4)*p^10+16*m^12*x^12*(4*m^2*z^2*y^2*x^2+13*z^4*y^4+12*m^2*z^4*y^2+y^4*x^4+$
$8*z^2*y^4*x^2+m^4*z^4)*p^12-32*m^14*x^14*(m^2*z^2+y^2*x^2+3*z^2*y^2)*p^14+16*m^16*p^16*x^16=0$

数学星空

容易算出最大值
$S= 1/2(x*sqrt(y^2-m^2*p^2)+sqrt(y^2*z^2-x^2*m^2*p^2)+m*sqrt(z^2-x^2*p^2)-x*m*sqrt(1-p^2))$

056254628

三角形，最大面积和最大周长是垂心和内心，那么最有效率的三角形（面积与周长的比值最大），定点又是其什么心，难道是重心？