椭圆内接n边形周长最大值 - 第5页 - 难题征解 - 数学研发论坛

数学星空 发表于 2012-4-18 21:30:36

对于n=8

(a^4+6*a^2*b^2+b^4)*(-b+a)^2*(a+b)^2*m^8-4*a^4*(a^2+5*b^2)*(-b+a)^2*(a+b)^2*m^6+2*a^6*(6*a^4*b^2-21*a^2*b^4+16*b^6+3*a^6)*m^4-
4*a^8*(a^4*b^2+4*b^6+a^6-4*a^2*b^4)*m^2+a^16=0

(a^4+6*a^2*b^2+b^4)*(-b+a)^2*(a+b)^2*n^8-4*b^4*(5*a^2+b^2)*(-b+a)^2*(a+b)^2*n^6+2*b^6*(6*a^2*b^4-21*a^4*b^2+16*a^6+3*b^6)*n^4-
4*b^8*(a^2*b^4+4*a^6+b^6-4*a^4*b^2)*n^2+b^16=0

(a^4+6*a^2*b^2+b^4)*(-b+a)^2*(a+b)^2*s^8-4*b^4*(a^2+b^2)*(-b+a)^2*(a+b)^2*s^6+2*b^8*(3*b^4+3*a^4-2*a^2*b^2)*s^4-
4*b^12*(a^2+b^2)*s^2+b^16=0

(a^4+6*a^2*b^2+b^4)*(-b+a)^2*(a+b)^2*t^8-4*a^4*(a^2+b^2)*(-b+a)^2*(a+b)^2*t^6+2*a^8*(3*b^4+3*a^4-2*a^2*b^2)*t^4-
4*a^12*(a^2+b^2)*t^2+a^16=0

L(8)=4*(sqrt((-t+m)^2+(s-n)^2)+t+s)

L(8)=int_0^(2*pi)m*sqrt(1-((m^2-n^2)*cos(x)^2)/m^2)dx-8*(2*int_0^(arccos(m/a))m*sqrt(1-((m^2-n^2)*cos(x)^2)/m^2)dx-(2*b*sqrt(a^2-m^2))/a)

数学星空 发表于 2012-4-22 22:47:01

今天看到了下面惊奇的定理：

定理A (Sas,1939)给定平面上一个凸体C，n>=3,设P_ n表示一个内接于C的面积最大的n边形，
　　　则A(P_n)>=A(C)*(n/(2*pi))*sin((2*pi)/n),等号成立仅当C是一个椭圆

定理B (Schneider)设C是平面上一个凸体，n>=3,设Q_n(q_n)表示外切（内接）于C的周长最小（最大）的n边形，则
　　　　　　Per(Q_n)<=Per(C)*(n/pi)*tan(pi/n)
　　　　　　Per(q_n)>=Per(C)*(n/pi)*sin(pi/n)
　　　若C是一个椭圆，则两个不等式中的等号成立。

数学星空 发表于 2012-4-25 21:15:02

现给出几种公式的计算结果，便于理解
具体的a,b,m,n,s,t,x1,y1,x2,y2意义见楼上
记L_1(N)为由代数方程及求根公式得到的结果，
L_1(3)=2*sqrt(3)*(a^2+b^2+sqrt(a^4+b^4-a^2*b^2))/sqrt(a^2+b^2+2*sqrt(a^4+b^4-a^2*b^2))
L_1(4)=4*sqrt(a^2+b^2)
L_1(5)=2*sqrt((a+x)^2+y^2)+2*sqrt((x-m)^2+(y-t)^2)+2*t
L_1(6)=4*(a^2+a*b+b^2)/(a+b)
L_1(7)=2*(sqrt((a+x1)^2+y1^2)+sqrt((x1-x2)^2+(y1-y2)^2)+sqrt((x2-m)^2+(y2-t)^2)+t)
L_1(8)=4*(sqrt((-t+m)^2+(s-n)^2)+t+s)

记L_2(N)由35#给出的椭圆积分公式
L_2(N)=int_0^(2*pi)m*sqrt(1-((m^2-n^2)*cos(x)^2)/m^2)dx-N*(2*int_0^(arccos(m/a))m*sqrt(1-((m^2-n^2)*cos(x)^2)/m^2)dx-(2*b*sqrt(a^2-m^2))/a)

记L_3(N)由Schneider给出的公式
L_3(N)=(N/pi)*sin(pi/N)*int_0^(2*pi)a*sqrt(1-((a^2-b^2)*cos(x)^2)/a^2)dx

数学星空 发表于 2012-4-25 21:25:18

对于各个$N$值计算的各个参数如下(统一取$a=5,b=3$ 计算)
$N=3 $
$a = 5, b = 3, m = 4.041160062, n = .575303962$
三个顶点坐标：
$[-5, 0], , $

$N=4$
$a = 5, b = 3, m = 4.287464628, n = 1.543487267$
四个顶点坐标：
$[-4.287464628, 1.543487267], , , [-4.287464628, -1.543487267]$

$N=5$
$a = 5, b = 3, m = 4.49773440852952, n = 2.05660273501480, t = 1.310472689, x1 = -2.112237930, y1 = 2.719162065$
五个顶点坐标：
$[-5, 0], [-2.112237930, 2.719162065], , , [-2.112237930, -2.719162065]$

$N=6$
$a = 5, b = 3, m = 4.635124054, n = 2.341874249, t = 1.125000000$
六个顶点坐标：
$[-4.635124054, 1.125000000], , , , , [-4.635124054, -1.125000000]$

$N=7$
$a = 5, b = 3, m = 4.725133206, n = 2.515329763, t = .9809800345, x1 = -3.679798768, x2 = 1.462923737, y1 = 2.031075865, y2 = 2.868718789$
七个顶点坐标：
$[-5, 0], [-3.679798768, 2.031075865], , ,$
$ , , [-3.679798768, -2.031075865]$

$N=8$
$a = 5, b = 3, m = 4.786275326, n = 2.628389525, s = .8677353642, t = 2.410376012$
八个顶点坐标：
$[-4.786275326, .8677353642], [-2.410376012, 2.628389525], , , $
$, , [-2.410376012, -2.628389525], [-4.786275326, -.8677353642]$

数学星空 发表于 2012-4-25 21:33:50

最终计算结果：
L_1(3)=L_2(3)=21.95745429, L_3(3)=21.11065812
L_1(4)=L_2(4)=23.32380757,L_3(4)=22.98237357
L_1(5)=L_2(5)=24.07074267,L_3(5)=23.88023387
L_1(6)=L_2(6)=24.50000000,L_3(6)=24.37648830
L_1(7)=L_2(7)=24.76587542,L_3(7)=24.67864442
L_1(8)=L_2(8)=24.9410891,L_3(8)=24.87594191
这说明由Schneider给出是近似计算公式，N值越大，结果越精确

数学星空 发表于 2012-4-25 21:37:02

下面给出由上面的计算结果绘制的图形

数学星空 发表于 2013-12-30 20:39:15

我们设外椭圆（即P点的轨迹）为x^2/a^2+y^2/b^2=1,内椭圆为x^2/(a^2-t)+y^2/(b^2-t)=1

则det(A+x*B)=(x/a^2+1/(a^2-t))*(x/b^2+1/(b^2-t))*(-1-x)

sqrt(det(A+x*B))=I/sqrt((a^2-t)(b^2-t))*(s_0+s_1*x+s_2*x^2+s_3*x^3+s_4*x^4+....)

s_0=1

s_1=((-a^2-b^2)*t+3*a^2*b^2)/{2ab}

s_2=((-a^4+2*a^2*b^2-b^4)*t^2+(-2*a^4*b^2-2*a^2*b^4)*t+3*a^4*b^4)/{8a^3b^3}

s_3=((-a^6+a^4*b^2+a^2*b^4-b^6)*t^3+(a^6*b^2-2*a^4*b^4+a^2*b^6)*t^2+(a^6*b^4+a^4*b^6)*t-a^6*b^6)/{16a^5b^5}

s_4=((-5*a^8+4*a^6*b^2+2*a^4*b^4+4*a^2*b^6-5*b^8)*t^4+(12*a^8*b^2-12*a^6*b^4-12*a^4*b^6+12*a^2*b^8)*t^3+(-6*a^8*b^4+12*a^6*b^6-6*a^4*b^8)*t^2+(-4*a^8*b^6-4*a^6*b^8)*t+3*a^8*b^8)/{128a^7b^7}

..............................

根据http://bbs.emath.ac.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=4216&page=14&extra=#pid51537 133#的结论：

n=3,p=1,s_2=0

即(-a^4+2*a^2*b^2-b^4)*t^2+(-2*a^4*b^2-2*a^2*b^4)*t+3*a^4*b^4=0，

解得t={(-a^2-b^2+2*sqrt(a^4-a^2*b^2+b^4))*b^2*a^2}/(a^4-2*a^2*b^2+b^4)

n=4,p=2,s_3=0

即(-a^6+a^4*b^2+a^2*b^4-b^6)*t^3+(a^6*b^2-2*a^4*b^4+a^2*b^6)*t^2+(a^6*b^4+a^4*b^6)*t-a^6*b^6=0

解得t={a^2*b^2}/(a^2+b^2)

n=5,p=2,s_3^2=s_2*s_4即

(-a^12+6*a^10*b^2-15*a^8*b^4+20*a^6*b^6-15*a^4*b^8+6*a^2*b^10-b^12)*t^6+(-6*a^12*b^2-14*a^10*b^4+20*a^8*b^6+20*a^6*b^8-14*a^4*b^10-6*a^2*b^12)*t^5+

(29*a^12*b^4-4*a^10*b^6-50*a^8*b^8-4*a^6*b^10+29*a^4*b^12)*t^4+(-36*a^12*b^6+36*a^10*b^8+36*a^8*b^10-36*a^6*b^12)*t^3+(9*a^12*b^8-34*a^10*b^10+9*a^8*b^12)*t^2+

(10*a^12*b^10+10*a^10*b^12)*t-5*a^12*b^12=0

n=6,p=3,s_4^2=s_3*s_5即

-(a^4*b^4+2*a^4*b^2*t-2*a^2*b^4*t-3*a^4*t^2+2*a^2*b^2*t^2+b^4*t^2)*(a^2*b^2-a^2*t-2*a*b*t-b^2*t)*(a^2*b^2-a^2*t+2*a*b*t-b^2*t)*(a^4*b^4-2*a^4*b^2*t+2*a^2*b^4*t+a^4*t^2+2*a^2*b^2*t^2-3*b^4*t^2)*

(3*a^4*b^4-2*a^4*b^2*t-2*a^2*b^4*t-a^4*t^2+2*a^2*b^2*t^2-b^4*t^2)＝0

解得t=({ab}/{a+b})^2

n=7,p=3,s_4^3-s_4(2s_3*s_5+s_2*s_6)+s_2s_5^2+s_6*s_3^2=0即

(a^24-12*a^22*b^2+66*a^20*b^4-220*a^18*b^6+495*a^16*b^8-792*a^14*b^10+924*a^12*b^12-792*a^10*b^14+495*a^8*b^16-220*a^6*b^18+66*a^4*b^20-12*a^2*b^22+b^24)*t^12+
(12*a^24*b^2+52*a^22*b^4-188*a^20*b^6-260*a^18*b^8+1208*a^16*b^10-824*a^14*b^12-824*a^12*b^14+1208*a^10*b^16-260*a^8*b^18-188*a^6*b^20+52*a^4*b^22+12*a^2*b^24)*t^11+
(-118*a^24*b^4+44*a^22*b^6+962*a^20*b^8-752*a^18*b^10-3404*a^16*b^12+6536*a^14*b^14-3404*a^12*b^16-752*a^10*b^18+962*a^8*b^20+44*a^6*b^22-118*a^4*b^24)*t^10+
(364*a^24*b^6-756*a^22*b^8-1680*a^20*b^10+5936*a^18*b^12-3864*a^16*b^14-3864*a^14*b^16+5936*a^12*b^18-1680*a^10*b^20-756*a^8*b^22+364*a^6*b^24)*t^9+
(-441*a^24*b^8+2184*a^22*b^10-700*a^20*b^12-5704*a^18*b^14+9322*a^16*b^16-5704*a^14*b^18-700*a^12*b^20+2184*a^10*b^22-441*a^8*b^24)*t^8+
(-168*a^24*b^10-3192*a^22*b^12+3928*a^20*b^14-568*a^18*b^16-568*a^16*b^18+3928*a^14*b^20-3192*a^12*b^22-168*a^10*b^24)*t^7+(1260*a^24*b^12+2520*a^22*b^14-3756*a^20*b^16-48*a^18*b^18-3756*a^16*b^20+2520*a^14*b^22+1260*a^12*b^24)*t^6+(-1800*a^24*b^14-744*a^22*b^16+2544*a^20*b^18+
2544*a^18*b^20-744*a^16*b^22-1800*a^14*b^24)*t^5+(1311*a^24*b^16-444*a^22*b^18-1734*a^20*b^20-444*a^18*b^22+1311*a^16*b^24)*t^4+(-484*a^24*b^18+516*a^22*b^20+
516*a^20*b^22-484*a^18*b^24)*t^3+(42*a^24*b^20-196*a^22*b^22+42*a^20*b^24)*t^2+(28*a^24*b^22+28*a^22*b^24)*t-7*a^24*b^24＝0

n=8,p=4,s_5^3-s_5*(2s_4*s_6+s_3*s_7)+s_3*s_6^2+s_4*s_7^2=0即

(a^30-5*a^28*b^2-11*a^26*b^4+159*a^24*b^6-595*a^22*b^8+1199*a^20*b^10-1375*a^18*b^12+627*a^16*b^14+627*a^14*b^16-1375*a^12*b^18+1199*a^10*b^20-595*a^8*b^22+159*a^6*b^24-11*a^4*b^26-5*a^2*b^28+b^30)*t^15+
(-5*a^30*b^2+46*a^28*b^4-167*a^26*b^6+236*a^24*b^8+275*a^22*b^10-1870*a^20*b^12+3993*a^18*b^14-5016*a^16*b^16+3993*a^14*b^18-1870*a^12*b^20+275*a^10*b^22+236*a^8*b^24-167*a^6*b^26+46*a^4*b^28-5*a^2*b^30)*t^14+
(-11*a^30*b^4-167*a^28*b^6+718*a^26*b^8-1474*a^24*b^10+3215*a^22*b^12-5245*a^20*b^14+2964*a^18*b^16+2964*a^16*b^18-5245*a^14*b^20+3215*a^12*b^22-1474*a^10*b^24+718*a^8*b^26-167*a^6*b^28-11*a^4*b^30)*t^13+
(159*a^30*b^6+236*a^28*b^8-1474*a^26*b^10+60*a^24*b^12+625*a^22*b^14+8920*a^20*b^16-17052*a^18*b^18+8920*a^16*b^20+625*a^14*b^22+60*a^12*b^24-1474*a^10*b^26+236*a^8*b^28+159*a^6*b^30)*t^12+
(-595*a^30*b^8+275*a^28*b^10+3215*a^26*b^12+625*a^24*b^14-14990*a^22*b^16+11470*a^20*b^18+11470*a^18*b^20-14990*a^16*b^22+625*a^14*b^24+3215*a^12*b^26+275*a^10*b^28-595*a^8*b^30)*t^11+
(1199*a^30*b^10-1870*a^28*b^12-5245*a^26*b^14+8920*a^24*b^16+11470*a^22*b^18-28948*a^20*b^20+11470*a^18*b^22+8920*a^16*b^24-5245*a^14*b^26-1870*a^12*b^28+1199*a^10*b^30)*t^10+
(-1375*a^30*b^12+3993*a^28*b^14+2964*a^26*b^16-17052*a^24*b^18+11470*a^22*b^20+11470*a^20*b^22-17052*a^18*b^24+2964*a^16*b^26+3993*a^14*b^28-1375*a^12*b^30)*t^9+
(627*a^30*b^14-5016*a^28*b^16+2964*a^26*b^18+8920*a^24*b^20-14990*a^22*b^22+8920*a^20*b^24+2964*a^18*b^26-5016*a^16*b^28+627*a^14*b^30)*t^8+
(627*a^30*b^16+3993*a^28*b^18-5245*a^26*b^20+625*a^24*b^22+625*a^22*b^24-5245*a^20*b^26+3993*a^18*b^28+627*a^16*b^30)*t^7+
(-1375*a^30*b^18-1870*a^28*b^20+3215*a^26*b^22+60*a^24*b^24+3215*a^22*b^26-1870*a^20*b^28-1375*a^18*b^30)*t^6+(1199*a^30*b^20+275*a^28*b^22-1474*a^26*b^24-1474*a^24*b^26+275*a^22*b^28+
1199*a^20*b^30)*t^5+(-595*a^30*b^22+236*a^28*b^24+718*a^26*b^26+236*a^24*b^28-595*a^22*b^30)*t^4+(159*a^30*b^24-167*a^28*b^26-167*a^26*b^28+159*a^24*b^30)*t^3+
(-11*a^30*b^26+46*a^28*b^28-11*a^26*b^30)*t^2+(-5*a^30*b^28-5*a^28*b^30)*t+a^30*b^30=0

注：可以验证n=3,4,6求得的结果与楼上的结果是一样的

n=3时，

m=a*{sqrt(a^4+b^4-a^2*b^2)-b^2}/{a^2-b^2},

即t=a^2-m^2={(-a^2-b^2+2*sqrt(a^4-a^2*b^2+b^4))*b^2*a^2}/(a^4-2*a^2*b^2+b^4)

n=4时，

m=a^2/sqrt(a^2+b^2),

即t=a^2-m^2={a^2*b^2}/(a^2+b^2)

n=6时，

m=a*sqrt(a^2+2*a*b)/{a+b},

即t=a^2-m^2=({ab}/{a+b})^2

至此，对于椭圆内接N边形最大周长问题已有更简便的计算方法。

zuijianqiugen 发表于 2014-3-22 01:26:26

chendu 发表于 2011-11-19 09:43
孙老师提出的问题（求椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1的内接n边形的周长的最大值L

（n）？），的确很有难度，而且 ...

OI^2＝Ｒ^2－3Rr不成立，也不存在。

数学星空 发表于 2014-3-22 18:41:17

zuijianqiugen 发表于 2014-3-22 01:26
OI^2＝Ｒ^2－3Rr不成立，也不存在。

你能给出OI的表达式吗？
具体的讨论可见：
四面体的外心－内心公式
http://bbs.emath.ac.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=5103&fromuid=1455
(出处: 数学研发论坛)

zuijianqiugen 发表于 2014-3-22 20:16:30

数学星空发表于 2014-3-22 18:41
你能给出OI的表达式吗？
具体的讨论可见：
四面体的外心－内心公式

用6棱长的表达式太复杂了，肯定的是：外内心距d与外半径R和内半径r不存在表达式。

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