椭圆内接n边形周长最大值

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对于$n=8$

$(a^4+6*a^2*b^2+b^4)*(-b+a)^2*(a+b)^2*m^8-4*a^4*(a^2+5*b^2)*(-b+a)^2*(a+b)^2*m^6+2*a^6*(6*a^4*b^2-21*a^2*b^4+16*b^6+3*a^6)*m^4-$
$4*a^8*(a^4*b^2+4*b^6+a^6-4*a^2*b^4)*m^2+a^16=0$

$(a^4+6*a^2*b^2+b^4)*(-b+a)^2*(a+b)^2*n^8-4*b^4*(5*a^2+b^2)*(-b+a)^2*(a+b)^2*n^6+2*b^6*(6*a^2*b^4-21*a^4*b^2+16*a^6+3*b^6)*n^4-$
$4*b^8*(a^2*b^4+4*a^6+b^6-4*a^4*b^2)*n^2+b^16=0$

$(a^4+6*a^2*b^2+b^4)*(-b+a)^2*(a+b)^2*s^8-4*b^4*(a^2+b^2)*(-b+a)^2*(a+b)^2*s^6+2*b^8*(3*b^4+3*a^4-2*a^2*b^2)*s^4-$
$4*b^12*(a^2+b^2)*s^2+b^16=0$

$(a^4+6*a^2*b^2+b^4)*(-b+a)^2*(a+b)^2*t^8-4*a^4*(a^2+b^2)*(-b+a)^2*(a+b)^2*t^6+2*a^8*(3*b^4+3*a^4-2*a^2*b^2)*t^4-$
$4*a^12*(a^2+b^2)*t^2+a^16=0$

$L(8)=4*(sqrt((-t+m)^2+(s-n)^2)+t+s)$

$L(8)=int_0^(2*pi)m*sqrt(1-((m^2-n^2)*cos(x)^2)/m^2)dx-8*(2*int_0^(arccos(m/a))m*sqrt(1-((m^2-n^2)*cos(x)^2)/m^2)dx-(2*b*sqrt(a^2-m^2))/a)$

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今天看到了下面惊奇的定理：

定理A    (Sas,1939)给定平面上一个凸体$C$，$n>=3$,设$P_ n$表示一个内接于$C$的面积最大的$n$边形，
　　　则$A(P_n)>=A(C)*(n/(2*pi))*sin((2*pi)/n),$等号成立仅当$C$是一个椭圆

定理B    (Schneider)设$C$是平面上一个凸体，$n>=3$,设$Q_n(q_n)$表示外切（内接）于$C$的周长最小（最大）的$n$边形，则
　　　　　　$Per(Q_n)<=Per(C)*(n/pi)*tan(pi/n)$
　　　　　　$Per(q_n)>=Per(C)*(n/pi)*sin(pi/n)$      
　　　若$C$是一个椭圆，则两个不等式中的等号成立。

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现给出几种公式的计算结果，便于理解
具体的$a,b,m,n,s,t,x1,y1,x2,y2$意义见楼上
记$L_1(N)$为由代数方程及求根公式得到的结果，
$L_1(3)=2*sqrt(3)*(a^2+b^2+sqrt(a^4+b^4-a^2*b^2))/sqrt(a^2+b^2+2*sqrt(a^4+b^4-a^2*b^2))$      
$L_1(4)=4*sqrt(a^2+b^2)$      
$L_1(5)=2*sqrt((a+x)^2+y^2)+2*sqrt((x-m)^2+(y-t)^2)+2*t$      
$L_1(6)=4*(a^2+a*b+b^2)/(a+b)$      
$L_1(7)=2*(sqrt((a+x1)^2+y1^2)+sqrt((x1-x2)^2+(y1-y2)^2)+sqrt((x2-m)^2+(y2-t)^2)+t)$      
$L_1(8)=4*(sqrt((-t+m)^2+(s-n)^2)+t+s)$  

记$L_2(N)$由35#给出的椭圆积分公式
$L_2(N)=int_0^(2*pi)m*sqrt(1-((m^2-n^2)*cos(x)^2)/m^2)dx-N*(2*int_0^(arccos(m/a))m*sqrt(1-((m^2-n^2)*cos(x)^2)/m^2)dx-(2*b*sqrt(a^2-m^2))/a)$
   
记$L_3(N)$由Schneider给出的公式
$ L_3(N)=(N/pi)*sin(pi/N)*int_0^(2*pi)a*sqrt(1-((a^2-b^2)*cos(x)^2)/a^2)dx$

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对于各个$N$值计算的各个参数如下(统一取$a=5,b=3$ 计算)
$N=3 $
$a = 5, b = 3, m = 4.041160062, n = .575303962$
三个顶点坐标：
$[-5, 0], [4.041160062, 1.766592518], [4.041160062, -1.766592518]$

$N=4$
$a = 5, b = 3, m = 4.287464628, n = 1.543487267$
四个顶点坐标：
$[-4.287464628, 1.543487267], [4.287464628, 1.543487267], [4.287464628, -1.543487267], [-4.287464628, -1.543487267]$

$N=5$
$a = 5, b = 3, m = 4.49773440852952, n = 2.05660273501480, t = 1.310472689, x1 = -2.112237930, y1 = 2.719162065$
五个顶点坐标：
$[-5, 0], [-2.112237930, 2.719162065], [4.49773440852952, 1.310472689], [4.49773440852952, -1.310472689], [-2.112237930, -2.719162065]$

$N=6$
$a = 5, b = 3, m = 4.635124054, n = 2.341874249, t = 1.125000000$
六个顶点坐标：
$[-4.635124054, 1.125000000], [0, 3], [4.635124054, 1.125000000], [4.635124054, -1.125000000], [0, -3], [-4.635124054, -1.125000000]$

$N=7$
$a = 5, b = 3, m = 4.725133206, n = 2.515329763, t = .9809800345, x1 = -3.679798768, x2 = 1.462923737, y1 = 2.031075865, y2 = 2.868718789$
七个顶点坐标：
$[-5, 0], [-3.679798768, 2.031075865], [1.462923737, 2.868718789], [4.725133206, .9809800345],$
$ [4.725133206, -.9809800345], [1.462923737, -2.868718789], [-3.679798768, -2.031075865]$

$N=8$
$a = 5, b = 3, m = 4.786275326, n = 2.628389525, s = .8677353642, t = 2.410376012$
八个顶点坐标：
$[-4.786275326, .8677353642], [-2.410376012, 2.628389525], [2.410376012, 2.628389525], [4.786275326, .8677353642], $
$[4.786275326, -.8677353642], [2.410376012, -2.628389525], [-2.410376012, -2.628389525], [-4.786275326, -.8677353642]$

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最终计算结果：
$L_1(3)=L_2(3)=21.95745429, L_3(3)=21.11065812$
$L_1(4)=L_2(4)=23.32380757,L_3(4)=22.98237357$
$L_1(5)=L_2(5)=24.07074267,L_3(5)=23.88023387$
$L_1(6)=L_2(6)=24.50000000,L_3(6)=24.37648830$
$L_1(7)=L_2(7)=24.76587542,L_3(7)=24.67864442$
$L_1(8)=L_2(8)=24.9410891,L_3(8)=24.87594191$
这说明由Schneider给出是近似计算公式，$N$值越大，结果越精确

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下面给出由上面的计算结果绘制的图形

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我们设外椭圆（即P点的轨迹）为$x^2/a^2+y^2/b^2=1$,内椭圆为$x^2/(a^2-t)+y^2/(b^2-t)=1$

则$det(A+x*B)=(x/a^2+1/(a^2-t))*(x/b^2+1/(b^2-t))*(-1-x)$

$sqrt(det(A+x*B))=I/sqrt((a^2-t)(b^2-t))*(s_0+s_1*x+s_2*x^2+s_3*x^3+s_4*x^4+....)$

$s_0=1$

$s_1=((-a^2-b^2)*t+3*a^2*b^2)/{2ab}$

$s_2=((-a^4+2*a^2*b^2-b^4)*t^2+(-2*a^4*b^2-2*a^2*b^4)*t+3*a^4*b^4)/{8a^3b^3}$

$s_3=((-a^6+a^4*b^2+a^2*b^4-b^6)*t^3+(a^6*b^2-2*a^4*b^4+a^2*b^6)*t^2+(a^6*b^4+a^4*b^6)*t-a^6*b^6)/{16a^5b^5}$

$s_4=((-5*a^8+4*a^6*b^2+2*a^4*b^4+4*a^2*b^6-5*b^8)*t^4+(12*a^8*b^2-12*a^6*b^4-12*a^4*b^6+12*a^2*b^8)*t^3+(-6*a^8*b^4+12*a^6*b^6-6*a^4*b^8)*t^2+(-4*a^8*b^6-4*a^6*b^8)*t+3*a^8*b^8)/{128a^7b^7}$

..............................

根据http://bbs.emath.ac.cn/forum.php ... amp;extra=#pid51537 133#的结论：

$n=3,p=1,s_2=0$

即$(-a^4+2*a^2*b^2-b^4)*t^2+(-2*a^4*b^2-2*a^2*b^4)*t+3*a^4*b^4=0$，

解得$t={(-a^2-b^2+2*sqrt(a^4-a^2*b^2+b^4))*b^2*a^2}/(a^4-2*a^2*b^2+b^4)$


$n=4,p=2,s_3=0$

即$(-a^6+a^4*b^2+a^2*b^4-b^6)*t^3+(a^6*b^2-2*a^4*b^4+a^2*b^6)*t^2+(a^6*b^4+a^4*b^6)*t-a^6*b^6=0$

解得$t={a^2*b^2}/(a^2+b^2)$


$n=5,p=2,s_3^2=s_2*s_4$即

$(-a^12+6*a^10*b^2-15*a^8*b^4+20*a^6*b^6-15*a^4*b^8+6*a^2*b^10-b^12)*t^6+(-6*a^12*b^2-14*a^10*b^4+20*a^8*b^6+20*a^6*b^8-14*a^4*b^10-6*a^2*b^12)*t^5+$

$(29*a^12*b^4-4*a^10*b^6-50*a^8*b^8-4*a^6*b^10+29*a^4*b^12)*t^4+(-36*a^12*b^6+36*a^10*b^8+36*a^8*b^10-36*a^6*b^12)*t^3+(9*a^12*b^8-34*a^10*b^10+9*a^8*b^12)*t^2+$

$(10*a^12*b^10+10*a^10*b^12)*t-5*a^12*b^12=0$


$n=6,p=3,s_4^2=s_3*s_5$即

$-(a^4*b^4+2*a^4*b^2*t-2*a^2*b^4*t-3*a^4*t^2+2*a^2*b^2*t^2+b^4*t^2)*(a^2*b^2-a^2*t-2*a*b*t-b^2*t)*(a^2*b^2-a^2*t+2*a*b*t-b^2*t)*(a^4*b^4-2*a^4*b^2*t+2*a^2*b^4*t+a^4*t^2+2*a^2*b^2*t^2-3*b^4*t^2)*$

$(3*a^4*b^4-2*a^4*b^2*t-2*a^2*b^4*t-a^4*t^2+2*a^2*b^2*t^2-b^4*t^2)＝0$

解得$t=({ab}/{a+b})^2$


$n=7,p=3,s_4^3-s_4(2s_3*s_5+s_2*s_6)+s_2s_5^2+s_6*s_3^2=0$即

$(a^24-12*a^22*b^2+66*a^20*b^4-220*a^18*b^6+495*a^16*b^8-792*a^14*b^10+924*a^12*b^12-792*a^10*b^14+495*a^8*b^16-220*a^6*b^18+66*a^4*b^20-12*a^2*b^22+b^24)*t^12+$
$(12*a^24*b^2+52*a^22*b^4-188*a^20*b^6-260*a^18*b^8+1208*a^16*b^10-824*a^14*b^12-824*a^12*b^14+1208*a^10*b^16-260*a^8*b^18-188*a^6*b^20+52*a^4*b^22+12*a^2*b^24)*t^11+$
$(-118*a^24*b^4+44*a^22*b^6+962*a^20*b^8-752*a^18*b^10-3404*a^16*b^12+6536*a^14*b^14-3404*a^12*b^16-752*a^10*b^18+962*a^8*b^20+44*a^6*b^22-118*a^4*b^24)*t^10+$
$(364*a^24*b^6-756*a^22*b^8-1680*a^20*b^10+5936*a^18*b^12-3864*a^16*b^14-3864*a^14*b^16+5936*a^12*b^18-1680*a^10*b^20-756*a^8*b^22+364*a^6*b^24)*t^9+$
$(-441*a^24*b^8+2184*a^22*b^10-700*a^20*b^12-5704*a^18*b^14+9322*a^16*b^16-5704*a^14*b^18-700*a^12*b^20+2184*a^10*b^22-441*a^8*b^24)*t^8+$
$(-168*a^24*b^10-3192*a^22*b^12+3928*a^20*b^14-568*a^18*b^16-568*a^16*b^18+3928*a^14*b^20-3192*a^12*b^22-168*a^10*b^24)*t^7+$$(1260*a^24*b^12+2520*a^22*b^14-3756*a^20*b^16-48*a^18*b^18-3756*a^16*b^20+2520*a^14*b^22+1260*a^12*b^24)*t^6+(-1800*a^24*b^14-744*a^22*b^16+2544*a^20*b^18+$
$2544*a^18*b^20-744*a^16*b^22-1800*a^14*b^24)*t^5+(1311*a^24*b^16-444*a^22*b^18-1734*a^20*b^20-444*a^18*b^22+1311*a^16*b^24)*t^4+(-484*a^24*b^18+516*a^22*b^20+$
$516*a^20*b^22-484*a^18*b^24)*t^3+(42*a^24*b^20-196*a^22*b^22+42*a^20*b^24)*t^2+(28*a^24*b^22+28*a^22*b^24)*t-7*a^24*b^24＝0$


$n=8,p=4,s_5^3-s_5*(2s_4*s_6+s_3*s_7)+s_3*s_6^2+s_4*s_7^2=0$即

$(a^30-5*a^28*b^2-11*a^26*b^4+159*a^24*b^6-595*a^22*b^8+1199*a^20*b^10-1375*a^18*b^12+627*a^16*b^14+627*a^14*b^16-1375*a^12*b^18+1199*a^10*b^20-595*a^8*b^22+159*a^6*b^24-11*a^4*b^26-5*a^2*b^28+b^30)*t^15+$
$(-5*a^30*b^2+46*a^28*b^4-167*a^26*b^6+236*a^24*b^8+275*a^22*b^10-1870*a^20*b^12+3993*a^18*b^14-5016*a^16*b^16+3993*a^14*b^18-1870*a^12*b^20+275*a^10*b^22+236*a^8*b^24-167*a^6*b^26+46*a^4*b^28-5*a^2*b^30)*t^14+$
$(-11*a^30*b^4-167*a^28*b^6+718*a^26*b^8-1474*a^24*b^10+3215*a^22*b^12-5245*a^20*b^14+2964*a^18*b^16+2964*a^16*b^18-5245*a^14*b^20+3215*a^12*b^22-1474*a^10*b^24+718*a^8*b^26-167*a^6*b^28-11*a^4*b^30)*t^13+$
$(159*a^30*b^6+236*a^28*b^8-1474*a^26*b^10+60*a^24*b^12+625*a^22*b^14+8920*a^20*b^16-17052*a^18*b^18+8920*a^16*b^20+625*a^14*b^22+60*a^12*b^24-1474*a^10*b^26+236*a^8*b^28+159*a^6*b^30)*t^12+$
$(-595*a^30*b^8+275*a^28*b^10+3215*a^26*b^12+625*a^24*b^14-14990*a^22*b^16+11470*a^20*b^18+11470*a^18*b^20-14990*a^16*b^22+625*a^14*b^24+3215*a^12*b^26+275*a^10*b^28-595*a^8*b^30)*t^11+$
$(1199*a^30*b^10-1870*a^28*b^12-5245*a^26*b^14+8920*a^24*b^16+11470*a^22*b^18-28948*a^20*b^20+11470*a^18*b^22+8920*a^16*b^24-5245*a^14*b^26-1870*a^12*b^28+1199*a^10*b^30)*t^10+$
$(-1375*a^30*b^12+3993*a^28*b^14+2964*a^26*b^16-17052*a^24*b^18+11470*a^22*b^20+11470*a^20*b^22-17052*a^18*b^24+2964*a^16*b^26+3993*a^14*b^28-1375*a^12*b^30)*t^9+$
$(627*a^30*b^14-5016*a^28*b^16+2964*a^26*b^18+8920*a^24*b^20-14990*a^22*b^22+8920*a^20*b^24+2964*a^18*b^26-5016*a^16*b^28+627*a^14*b^30)*t^8+$
$(627*a^30*b^16+3993*a^28*b^18-5245*a^26*b^20+625*a^24*b^22+625*a^22*b^24-5245*a^20*b^26+3993*a^18*b^28+627*a^16*b^30)*t^7+$
$(-1375*a^30*b^18-1870*a^28*b^20+3215*a^26*b^22+60*a^24*b^24+3215*a^22*b^26-1870*a^20*b^28-1375*a^18*b^30)*t^6+(1199*a^30*b^20+275*a^28*b^22-1474*a^26*b^24-1474*a^24*b^26+275*a^22*b^28+$
$1199*a^20*b^30)*t^5+(-595*a^30*b^22+236*a^28*b^24+718*a^26*b^26+236*a^24*b^28-595*a^22*b^30)*t^4+(159*a^30*b^24-167*a^28*b^26-167*a^26*b^28+159*a^24*b^30)*t^3+$
$(-11*a^30*b^26+46*a^28*b^28-11*a^26*b^30)*t^2+(-5*a^30*b^28-5*a^28*b^30)*t+a^30*b^30=0$


注：可以验证$n=3,4,6$求得的结果与楼上的结果是一样的

$n=3$时，

$m=a*{sqrt(a^4+b^4-a^2*b^2)-b^2}/{a^2-b^2}$,

即$t=a^2-m^2={(-a^2-b^2+2*sqrt(a^4-a^2*b^2+b^4))*b^2*a^2}/(a^4-2*a^2*b^2+b^4)$


$n=4$时，

$m=a^2/sqrt(a^2+b^2)$,

即$t=a^2-m^2={a^2*b^2}/(a^2+b^2)$


$n=6$时，

$m=a*sqrt(a^2+2*a*b)/{a+b}$,

即$t=a^2-m^2=({ab}/{a+b})^2$

至此，对于椭圆内接$N$边形最大周长问题已有更简便的计算方法。

zuijianqiugen

chendu 发表于 2011-11-19 09:43
孙老师提出的问题（求椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1的内接n边形的周长的最大值L

（n）？），的确很有难度，而且 ...

OI^2＝Ｒ^2－3Rr不成立，也不存在。

数学星空

zuijianqiugen 发表于 2014-3-22 01:26
OI^2＝Ｒ^2－3Rr不成立，也不存在。

你能给出OI的表达式吗？
具体的讨论可见：
四面体的外心－内心公式
http://bbs.emath.ac.cn/forum.php ... 03&fromuid=1455
(出处: 数学研发论坛)

zuijianqiugen

数学星空 发表于 2014-3-22 18:41
你能给出OI的表达式吗？
具体的讨论可见：
四面体的外心－内心公式

用6棱长的表达式太复杂了，肯定的是：外内心距d与外半径R和内半径r不存在表达式。